Question

В параллелорграмме ABCD точка E - середина стороны CD . Известно , что EA=EB. Докажите , что данный параллелограмм - прямоугольник

Answer 1

1)в треугольнике AEB построим высоту EH, а так как треугольник равнобедренный, то она будет являтся и медианой => BH=AH

2)рассмотрим параллелограмм EHBC: BH=CE(половины равных сторон), <BHE=<DCE=90 градусов

3) рассмотрим параллелограмм ABCD, где <C = <A = <B = <D = 90 градусов => ABCD - прямоугольник. чтд

Answer 2

Для начала, давайте обозначим точки: A (x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3), D (x4, y4) и E (x5, y5).

Так как E - середина стороны CD, то координаты точки E можно найти как среднее арифметическое координат точек C и D:

x5 = (x3 + x4) / 2 y5 = (y3 + y4) / 2

Также известно, что EA = EB, что можно записать в виде уравнения:

√((x1 - x5)^2 + (y1 - y5)^2) = √((x2 - x5)^2 + (y2 - y5)^2)

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:

(x1 - x5)^2 + (y1 - y5)^2 = (x2 - x5)^2 + (y2 - y5)^2

Подставим координаты точки E и раскроем скобки:

(x1 - (x3 + x4) / 2)^2 + (y1 - (y3 + y4) / 2)^2 = (x2 - (x3 + x4) / 2)^2 + (y2 - (y3 + y4) / 2)^2

Упростим уравнение:

(x1 - x3 - x4)^2 / 4 + (y1 - y3 - y4)^2 / 4 = (x2 - x3 - x4)^2 / 4 + (y2 - y3 - y4)^2 / 4

Умножим обе стороны уравнения на 4:

(x1 - x3 - x4)^2 + (y1 - y3 - y4)^2 = (x2 - x3 - x4)^2 + (y2 - y3 - y4)^2

Раскроем скобки:

x1^2 - 2*x1*x3 - 2*x1*x4 + x3^2 + 2*x3*x4 + x4^2 + y1^2 - 2*y1*y3 - 2*y1*y4 + y3^2 + 2*y3*y4 + y4^2 = x2^2 - 2*x2*x3 - 2*x2*x4 + x3^2 + 2*x3*x4 + x4^2 + y2^2 - 2*y2*y3 - 2*y2*y4 + y3^2 + 2*y3*y4 + y4^2

Упростим уравнение, учитывая, что AD = BC и AB = CD в параллелограмме:

x1^2 - 2*x1*x3 - 2*x1*x4 + x3^2 + 2*x3*x4 + x4^2 + y1^2 - 2*y1*y3 - 2*y1*y4 + y3^2 + 2*y3*y4 + y4^2 = x2^2 - 2*x2*x3 - 2*x2*x4 + x3^2 + 2*x3*x4 + x4^2 + y2^2 - 2*y2*y3 - 2*y2*y4 + y3^2 + 2*y3*y4 + y4^2

Так как AD = BC и AB = CD, то x1 = x2, y1 = y2, x3 = x4 и y3 = y4. Подставим эти значения в уравнение:

x1^2 - 2*x1*x3 - 2*x1*x3 + x3^2 + 2*x3*x3 + x3^2 + y1^2 - 2*y1*y3 - 2*y1*y3 + y3^2 + 2*y3*y3 + y3^2 = x2^2 - 2*x2*x3 - 2*x2*x3 + x3^2 + 2*x3*x3 + x3^2 + y2^2 - 2*y2*y3 - 2*y2*y3 + y3^2 + 2*y3*y3 + y3^2

Упростим уравнение:

x1^2 - 4*x1*x3 + 2*x3^2 + y1^2 - 4*y1*y3 + 2*y3^2 = x2^2 - 4*x2*x3 + 2*x3^2 + y2^2 - 4*y2*y3 + 2*y3^2

Так как x1 = x2 и y1 = y2, уравнение можно записать в виде:

x1^2 - 4*x1*x3 + 2*x3^2 + y1^2 - 4*y1*y3 + 2*y3^2 = x1^2 - 4*x1*x3 + 2*x3^2 + y1^2 - 4*y1*y3 + 2*y3^2

Упростим уравнение:

0 = 0

Таким образом, получаем, что уравнение выполняется для любых x1, y1, x3 и y3. Это означает, что точки A и C совпадают, а точки B и D также совпадают. Следовательно, параллелограмм ABCD является прямоугольником.