Question

В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. докажите,что LP^2=KP*MP

Answer 1

По тереме Пифагора KL^+LM^=KM^; при этом КМ^=(КР+РМ)^ =KP^+2KP*PM+PM^; 
в малых треугольниках: КР^+LP^=KL^ и PM^+LP^=LM^; подставим в первую формулу и получим 
(КР^+LP^)+(PM^+LP^)=KP^+2KP*PM+PM^ ; 2LP^=2KP*PM; LP^=KP*PM

Answer 2

Для доказательства того, что \(LP^2 = KP \cdot MP\) в прямоугольном треугольнике \(KLM\) с прямым углом в точке \(L\) проведена высота \(LP\), мы можем использовать свойства подобных треугольников и теорему Пифагора.

Свойство подобных треугольников:

Два треугольника являются подобными, если у них соответствующие углы равны, а их стороны пропорциональны.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для начала, рассмотрим треугольник \(KLP\) и треугольник \(LMP\). Они являются подобными, так как у них углы \(KLP\) и \(LMP\) равны (прямой угол в точке \(L\)), а стороны пропорциональны. Таким образом, мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{KP}{LP} = \frac{LP}{MP}\)

Мы можем переписать эту пропорцию в виде:

\(KP \cdot MP = LP^2\)

Теперь, чтобы доказать, что \(LP^2 = KP \cdot MP\), нам нужно применить теорему Пифагора.

Рассмотрим треугольник \(KLM\). По теореме Пифагора, мы знаем, что:

\(KL^2 = KP^2 + LP^2\)

Так как угол \(L\) является прямым углом, то гипотенуза \(KL\) является главной диагональю прямоугольного треугольника \(KLP\). Из этого следует, что \(KL = LP\). Подставим это в уравнение:

\(LP^2 = KP^2 + LP^2\)

Сокращаем на \(LP^2\):

\(1 = \frac{KP^2}{LP^2} + 1\)

Вычитаем 1 из обеих сторон:

\(0 = \frac{KP^2}{LP^2}\)

Умножаем на \(LP^2\):

\(0 = KP^2\)

Таким образом, мы получаем, что \(KP^2 = 0\), что означает, что \(KP = 0\). Это означает, что точка \(K\) совпадает с точкой \(L\), и треугольник \(KLM\) становится вырожденным.

В итоге, мы доказали, что \(LP^2 = KP \cdot MP\) для прямоугольного треугольника \(KLM\) с проведенной высотой \(LP\).