Question

Касательная, проведенная к описанной около треугольника ABC окружности через точку A пересекает прямую BC в точке E. AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = DE. ( даю 30 баллов)

Answer 1

Пусть точка С расположена между точками D и Е, то есть С ближняя к точке Е, а В дальняя от точки Е вершины треугольника АВС. Угол АВС - вписанный в окружность, он измеряется половиной дуги АС. Угол ЕАС - угол между хордой и касательной, он тоже измеряется половиной дуги АС. Значит (угол ЕАС) =(угол АВС) . Так, как АD биссектриса угла ВАС, то (угол ВАD)=(угол DАС) .
(Угол ЕАD)=(угол ЕАС) +(угол CAD), (угол АDE)=(угол АВD)+(угол BAD) как внешний угол треугольника АВD. Значит (угол ЕАD)=(угол АDЕ) . Отсюда следует, что треугольник ЕАD равнобедренный, и АЕ=ЕD.