Question

бісектриса кута А прямокутника ABCD ділить його сторону BC на відрізки BM і MC завдовжки 10 см і 14 см відповідно.На відрузки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?

Answer 1

Обозначим точку пересечения биссектрисы АМ с диагональю ВД через Р.Тогда ΔАМВ - равнобедренный, так как <МАД=<АМВ=45⁰, ВМ=АВ=10, 

ВС=ВМ+МС=10+14=24, АД=ВС, АД=24

Из ΔАВД: ВД²=АВ²+АД²=100+576=676, ВД=26

ВД=ВР+РД.

Обозначим ВР=х  ⇒  РД=ВД-х=26-х (см)

 

 ΔВМР подобен ΔАДР (по двум углам: <МАД=<АМВ, <АРД=<ВРМ как вертикальные)  ⇒

составим пропорцию        ВМ     ВР               10           х

                                               ----- = ------            ------ = ----------

                                                АД      ДР                24       26-х  

10(26-х)=24х  ,  5(26-х)=12х  ,  130-5х=12х   ,  17х=130  ,  х=130/17=7 и 11/17 (см) =ВР

26-х=26-130/17=312/17=18 и 6/17 (см) =ДР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Пусть точка пересечения биссектрисы со стороной DC будет К, а точка пересечения биссектрисы DK и диагонали BD будет О.

Биссектриса угла параллелограмма ( а прямоугольник - параллелограмм)отсекает от него равнобедренный треугольник.

АDK- равнобедненный треугольник, и
АD=DK=10 см.
КС=14, ⇒DC=АВ=24 см
Диагональ прямоугольника, найденная по т.Пифагора, равна 26 см.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Следовательно,

DO:OB=AD:АВ
DO:OB=10:24=5:12
Диагональ делится биссектрисой на 5+12=17 частей.
Одна часть равна 26/17
DO=26*5/17=≈18,35 см
OD=26*12/17=≈7,65 см

Answer 3

Позначимо довжини сторін прямокутника ABCD так: AB = a, BC = b, CD = a, DA = b.

Дано, що бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки BM і MC, причому BM = 10 см і MC = 14 см.

Знаємо, що бісектриса кута A ділить протилежні кути прямокутника на два рівні кути. Тобто, кути BAC і CAD рівні між собою.

Оскільки BM і MC є відрізками бісектриси, то вони ділять кут BAC і CAD на два рівні кути. Таким чином, ми можемо скористатися схемою подібних трикутників.

У трикутнику ABC за теоремою про бісектрису маємо:

\[\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}.\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{10}{14} = \frac{a}{b}.\]

Тепер ми можемо виразити a відносно b:

\[a = \frac{10}{14} \cdot b = \frac{5}{7} \cdot b.\]

Тепер розглянемо трикутник ACD. Застосуємо ту саму теорему:

\[\frac{DM}{MA} = \frac{CD}{CA}.\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{DM}{MA} = \frac{14}{10} = \frac{b}{a}.\]

Тепер можемо підставити вираз для a, який ми отримали раніше:

\[\frac{14}{10} = \frac{b}{\frac{5}{7} \cdot b}.\]

Розв'яжемо це рівняння для знаходження значення b:

\[\frac{14}{10} = \frac{7}{5}.\]

Отже, b = 5 см.

Тепер, знаючи значення b, можемо знайти a:

\[a = \frac{5}{7} \cdot 5 = \frac{25}{7} \text{ см}.\]

Тепер ми можемо визначити довжину діагоналі AC за теоремою Піфагора:

\[AC = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\frac{25}{7}\right)^2 + 5^2}.\]

Обчислимо це:

\[AC = \sqrt{\frac{625}{49} + 25} = \sqrt{\frac{625 + 1225}{49}} = \sqrt{\frac{1850}{49}}.\]

Тепер можемо спростити добуток 1850/49:

\[AC = \frac{\sqrt{1850}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{1850}}{7}.\]

Отже, діагональ AC прямокутника ABCD, яку ділить бісектриса кута A, має довжину \(\frac{\sqrt{1850}}{7}\) см.