Question

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BAD равен 25°, а угол CDA равен 65°, средняя линия равна 10, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 8. Найдите длину основания AD.

Answer 1

Достроим трапецию продолжив её боковые стороны до пересечения. Точка пересечения - Е. Угол Е равен 180-(25+65)=90 градусов - треугольник прямоугольный. Середины отрезка соединяющие основания трапеции - К, М. ЕМ - медиана АЕД. Средняя линия трапеции - точки F, G. 
Свойство медианы проведенной из прямого угла треугольника: медиана равна половине гипотенузы.
Точка пересечения медианы и средней линии - Х.
ЕХ=FG/2=10/2= 5;
КХ=КМ=8/2=4;
ЕК=ЕХ-КХ=5-4=1;
ЕМ=ЕК+КМ=8+1=9;
АД=2*ЕМ=9*2=18.

Answer 2

1,дополнительные построения:
а)соединить середины оснований ВС и АD(точки  К и L соответственно);
б) из точки К провести параллельно боковым сторонам отрезки KM иKN;
в)вокруг ΔMKN описать окружность.
2.ΔMKN:
<MKN=180⁰-(65⁰+25⁰)=90⁰;⇒MN-диаметр окружности.
KL=8;-медиана,⇒R=ML=LN=KL=8;
AD=AM+MN+ND;⇒
AM+ND=BC;
MN=2·8=16;⇒AD=16+BC;
3.AD+BC=2·10=20;⇒
16+BC+BC=20;⇒
2BC=4;BC=2;
AD=16+2=18.

Answer 3

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство параллельных и смежных углов в трапеции.

Обозначим середины оснований трапеции как точки M и N, а точку пересечения медиан и отрезка MN как точку O. Также обозначим длину основания BC как b, основания AD как a и длину отрезка MN как h.

Из свойства параллельных и смежных углов мы знаем, что угол BCD равен углу A. Значит, угол BCD тоже равен 25 градусам.

Из свойства треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, угол CDA равен 180 - 65 - 90 = 25 градусов.

Таким образом, угол BDA равен 180 - 25 - 25 = 130 градусов.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол BAD равен 180 - 130 = 50 градусов.

Из свойства треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, углы MOB и NOC равны по 180 - 50 = 130 градусов. Поскольку линии MO и NO являются медианами треугольника, то они делятся на 3 равные части. Значит, углы MOB и NOC равны по 130/3 = 43.33 градуса.

Теперь рассмотрим треугольник MON. Угол MNO является вертикальным углом к углу MOB, поэтому они равны по 43.33 градуса.

Из свойства треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, угол MON равен 180 - 43.33 - 43.33 = 93.34 градуса.

Таким образом, треугольник MON - прямоугольный треугольник.

Медиана треугольника MNB, проходящая через точку O, является высотой этого треугольника. Из условия задачи мы знаем, что ее длина равна 10.

Так как треугольник MON - прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора: (a/2)^2 + h^2 = 10^2 (a/2)^2 + h^2 = 100 (a^2)/4 + h^2 = 100 a^2 + 4h^2 = 400

Также из условия задачи мы знаем, что длина отрезка MN равна 8: MN = √((a/2)^2 + h^2) 8 = √((a^2)/4 + h^2) 64 = (a^2)/4 + h^2

Теперь у нас есть два уравнения: a^2 + 4h^2 = 400 (a^2)/4 + h^2 = 64

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив второе уравнение в первое. Получившееся уравнение будет иметь вид: (64)*4 + 4h^2 = 400 256 + 4h^2 = 400 4h^2 = 400 - 256 4h^2= 144 h^2 = 144/4 h^2 = 36 h = √36 h = 6

Подставляем найденное значение h во второе уравнение: (a^2)/4 + 6^2 = 64 (a^2)/4 + 36 = 64 (a^2)/4 = 64 - 36 (a^2)/4 = 28 a^2 = 28*4 a^2 = 112 a = √112 a = 10.59

Таким образом, длина основания AD равна примерно 10.59.