Question

углы BAD и CDA при основании ad трапеции ABCD равны соответственно 30 градусов и 60 градусов, а основание трапеции 17 см и 7 см. Найти CD

Answer 1

Из вершины В проведем прямую, параллельную СД и она пересечет сторону АД в точке К.  КВСД паралелограмм. КД = ВС = 7 см. Тогда АК = 17 - 7 = 10 см.
Рассмотрим треуг. АВК. Угол А = 30, Угол К = Д = 60 как односторонние при параллельных прямых ВК и СД и секущей АД.
Угол В = 180 - (30 + 60) = 90.
Треуг АВК прямоугольный АК гипотенуза. В прямоугольном треуг. напротив угла 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенузы, значит ВК = 10 : 2 = 5 см
и СД = ВК = 5 см (как противолежащие стороны параллелограмма КВСД)
Ответ СД = 5 см

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим углы следующим образом:

- \( \angle BAD = 30^\circ \) (угол при вершине A) - \( \angle CDA = 60^\circ \) (угол при вершине C)

Также у нас есть основания трапеции AB и CD:

- \( AB = 17 \, \text{см} \) - \( CD = 7 \, \text{см} \)

Трапеция ABCD имеет две пары параллельных сторон: AB и CD, а также BC и AD.

Теперь рассмотрим треугольник ACD, который образуется боковой стороной трапеции и ее диагональю. У нас есть два известных угла: \( \angle CDA = 60^\circ \) и \( \angle CAD = 180^\circ - \angle BAD = 150^\circ \) (сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Используем закон синусов для треугольника ACD:

\[ \frac{AC}{\sin \angle CAD} = \frac{CD}{\sin \angle CDA} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 150^\circ} = \frac{7}{\sin 60^\circ} \]

Для решения этого уравнения сначала упростим числитель:

\[ AC = \frac{7 \cdot \sin 150^\circ}{\sin 60^\circ} \]

Мы знаем, что \( \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим эти значения:

\[ AC = \frac{7 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим:

\[ AC = \frac{7}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы можем найти длину CD, используя основание трапеции:

\[ CD = AC - AB \]

Подставим известные значения:

\[ CD = \frac{7}{\sqrt{3}} - 17 \]

Для более удобного восприятия результатов, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя под корнем:

\[ CD = \frac{7\sqrt{3} - 17\sqrt{3}}{3} \]

\[ CD = \frac{-10\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, длина отрезка CD равна \(\frac{-10\sqrt{3}}{3}\) см.