Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Ребят, очень нужна ваша помощь! Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите отношение BC к AD.

Answer 1

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай).
а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно,
Sbnl=Scnl (свойство медианы).
Но Sabln=Sdcln - дано.
Значит и Sabn=Sdcn.
Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны.
Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD,
что и требовалось доказать.
б) АВСD - трапеция (доказано выше).
КМ - ее средняя линия.
Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции).
Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2.
Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции.
Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM).
КМ=(ВС+АD)/2.
Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано)
51ВС+17AD=11BC+33AD.
40BC=16AD.
ВC/AD=2/5.

Answer 2

Для доказательства, что прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны, давайте воспользуемся тем, что точки \(K, L, M\) и \(N\) - середины соответствующих сторон выпуклого четырехугольника \(ABCD\).

а) Поскольку \(K\) и \(L\) - середины сторон \(AB\) и \(BC\), то отрезок \(KL\) - это половина стороны \(BC\). Аналогично, \(M\) и \(N\) - середины сторон \(CD\) и \(AD\), поэтому отрезок \(MN\) - это половина стороны \(AD\).

Теперь рассмотрим четырехугольник \(ABLN\). По условию, его площадь равна площади четырехугольника \(NLCD\). Так как отрезки \(KL\) и \(NM\) являются серединами соответствующих сторон, то \(KL \parallel NM\) и \(KL = \frac{1}{2}NM\).

Аналогично, \(AL \parallel BN\) и \(AL = \frac{1}{2}BN\). Теперь, рассмотрим треугольник \(ANL\). У него две параллельные стороны (\(AL\) и \(NK\)), поэтому он подобен треугольнику \(BCN\).

Из подобия треугольников следует, что соответствующие углы равны. Таким образом, угол \(\angle ANL\) равен углу \(\angle BNC\). А поскольку \(BC \parallel AD\), угол \(\angle BNC\) равен углу \(\angle ADB\). Таким образом, углы \(\angle ANL\) и \(\angle ADB\) равны, что означает, что прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны.

б) Теперь, найдем отношение длин отрезков \(BC\) и \(AD\). Поскольку \(KL\) и \(NM\) являются серединами соответствующих сторон, то \(KL = \frac{1}{2}BC\) и \(NM = \frac{1}{2}AD\). Из условия задачи известно, что площади четырехугольников \(KBCM\) и \(AKMD\) относятся как 11:17.

Площадь четырехугольника можно выразить через площадь треугольника и биссектрису угла между сторонами, которые образуют четырехугольник. Таким образом:

\[\frac{S_{KBCM}}{S_{AKMD}} = \frac{\frac{1}{2}KL \cdot BM \cdot \sin(\angle KBC)}{\frac{1}{2}AN \cdot DM \cdot \sin(\angle ADM)}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{11}{17} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \sin(\angle KBC)}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \sin(\angle ADM)}\]

Упростим уравнение:

\[\frac{11}{17} = \frac{BC}{AD} \cdot \frac{\sin(\angle KBC)}{\sin(\angle ADM)}\]

Так как \(\angle KBC = \angle ADM\), то \(\sin(\angle KBC) = \sin(\angle ADM)\) и они сокращаются:

\[\frac{11}{17} = \frac{BC}{AD}\]

Отсюда получаем:

\[BC = \frac{11}{17} \cdot AD\]

Таким образом, отношение длин сторон \(BC\) к \(AD\) равно \(\frac{11}{17}\).