Question

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Answer 1

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A1O1B1, причем точки А, О, В отображаются соответственно в точки A1, О1, B1. Так как при движении сохраняются расстояния, то OA=O1A1, OВ=O1В1. Если угол АОВ неразвернутый, то треугольники АОВ и А1O1В1 равны по трем сторонам, и, следовательно, ∠AOB=∠A1O1B1. Если угол АОВ развернутый, то и угол A1O1В1 развернутый (объясните почему), поэтому они равны.

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим движение на плоскости, при котором точка А движется с постоянной скоростью по прямой линии и переходит в точку В.

Предположим, что при этом угол α между направлением движения и некоторым фиксированным направлением не сохраняется.

После пройденного пути точка А достигает координаты (x1, y1), а точка В достигает координаты (x2, y2).

Тогда углы α1 и α2, образованные этими направлениями с выбранным направлением, можно выразить следующим образом:

α1 = arctan((y1 - y0) / (x1 - x0)) α2 = arctan((y2 - y0) / (x2 - x0))

Где (x0, y0) - координаты исходной точки, от которой измеряется угол.

С учетом того, что скорость постоянна и угол α не сохраняется, получаем, что α2 ≠ α1.

Однако, так как точка А движется по прямой линии, то отношение разности y2-y0 к разности x2-x0 будет постоянно и равно тангенсу угла α1:

(y2 - y0) / (x2 - x0) = tan(α1)

Так как треугольники AO1B и AO2B подобными, где O1 и O2 - начальное и конечное положения точки А соответственно, можно записать следующее отношение:

(y1 - y0) / (x1 - x0) = (y2 - y0) / (x2 - x0)

Отсюда следует, что tan(α1) = tan(α2), что возможно только при условии, что α1 = α2.

Следовательно, при движении на плоскости угол отображается на равный угол.