Question

Через точку (3, 5) на прямой p: y = x+2 провели прямую q, перпендикулярную прямой p. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, ограниченного прямыми p, q и осями координат.

Answer 1

  Так как оно перпендикулярна ,  то если прямая      $q$ имеет вид  $y=kx+b\\ k*1=-1\\ k=-1 \\ 5=-3+b \\ b=8 \\ q: y=-x+8$  
Найдем точки пересечения с осями , и вычислим как  площади двух прямоугольных треугольников , разбив четырехугольник на два прямоугольных 
$O_{1}(0;2) \\ O_{2}(10;0) \\ O_{3}(3;5) \\ O_{4}(0;0)\\ S_{O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}} = \frac{10*2}{2} + \frac{\sqrt{( 10-3)^2+5^2} * \sqrt{(3-0)^2+(5-2)^2}}{2} = \frac{20+3\sqrt{37}}{2}$  

Answer 2

Для начала найдем уравнение прямой q, перпендикулярной прямой p и проходящей через точку (3, 5).

Уравнение прямой p имеет вид y = x + 2.

Перпендикулярная прямая q будет иметь уравнение вида y = -x + b, где b - неизвестная константа.

Так как прямая q проходит через точку (3, 5), подставим ее координаты в уравнение прямой:

5 = -3 + b

b = 8

Таким образом, уравнение прямой q имеет вид y = -x + 8.

Теперь найдем точки пересечения прямых p и q с осями координат.

Для прямой p:

При x = 0, y = 2, следовательно, точка (0, 2) лежит на прямой p.

При y = 0, x = -2, следовательно, точка (-2, 0) лежит на прямой p.

Для прямой q:

При x = 0, y = 8, следовательно, точка (0, 8) лежит на прямой q.

При y = 0, x = 8, следовательно, точка (8, 0) лежит на прямой q.

Теперь нарисуем график прямых p и q, а также оси координат:

       |
       |
       |
-------+-------
       |
       |
       |

Теперь найдем вершины четырехугольника, ограниченного прямыми p, q и осями координат.

Вершины четырехугольника будут следующими:

A: (0, 2) B: (-2, 0) C: (0, 8) D: (8, 0)

Теперь можно найти площадь четырехугольника.

Площадь четырехугольника ABCD можно разбить на два треугольника: ABC и ACD.

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота.

Основание треугольника ABC равно 8 - (-2) = 10.

Высоту треугольника ABC можно найти, зная, что она равна расстоянию между прямыми p и q. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно модулю разности свободных коэффициентов в их уравнениях. В данном случае это |2 - 8| = 6.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна S1 = (1/2) * 10 * 6 = 30.

Площадь треугольника ACD можно найти аналогичным образом.

Основание треугольника ACD равно 8.

Высоту треугольника ACD можно найти, зная, что она равна расстоянию от точки (0, 2) до прямой q. Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2), где ax + by + c = 0 - уравнение прямой, а (x, y) - координаты точки.

Уравнение прямой q имеет вид -x + y - 8 = 0.

Подставим координаты точки (0, 2) в формулу:

d = |-0 + 2 - 8| / sqrt((-1)^2 + 1^2) = 6 / sqrt(2) = 3 * sqrt(2).

Таким образом, площадь треугольника ACD равна S2 = (1/2) * 8 * 3 * sqrt(2) = 12 * sqrt(2).

Теперь можно найти площадь четырехугольника ABCD:

S = S1 + S2 = 30 + 12 * sqrt(2).

Ответ: площадь выпуклого четырехугольника, ограниченного прямыми p, q и осями координат, равна 30 + 12 * sqrt(2).