Question

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа. Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Answer 1

Пусть стороны треугольника равны n-1 , n и n+1, отрезки,на которые высота делит основание, -x и y,высота  -h .
Тогда (y-x)n=(y-x)(y+x)=y^2-x^2=(y^2+h^2)-(x^2+h^2)=(n+1)^2-(n-1)^2=4n 
Отсюда y-x=4

Answer 2

Давайте рассмотрим остроугольный треугольник со сторонами a, b и c, где a < b < c и a, b, c - целые числа.

Пусть h - высота, опущенная на среднюю сторону b.

Треугольник разбивается на три меньших треугольника: один с основанием a, второй с основанием b и третий с основанием c.

Требуется доказать, что h делит среднюю сторону b на отрезки, разность длин которых равна 4.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные высотой h:

1. \( \triangle ABC \) - полный остроугольный треугольник со сторонами a, b и c. 2. \( \triangle ABD \) - треугольник с основанием a и высотой h. 3. \( \triangle BEC \) - треугольник с основанием b и высотой h. 4. \( \triangle CFD \) - треугольник с основанием c и высотой h.

Используем подобие треугольников:

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{h}{c} \]

\[ BD = \frac{ah}{c} \]

\[ \frac{CE}{BC} = \frac{h}{a} \]

\[ CE = \frac{bh}{a} \]

Теперь рассмотрим отрезки, на которые поделила сторону b высота h:

\[ AE = b - CE \]

\[ AE = b - \frac{bh}{a} \]

\[ AE = \frac{ab - bh}{a} \]

\[ AE = \frac{b(a - h)}{a} \]

\[ BE = b - AE \]

\[ BE = b - \frac{b(a - h)}{a} \]

\[ BE = \frac{bh + ab - bh}{a} \]

\[ BE = \frac{ab}{a} \]

\[ BE = b \]

Таким образом, сторона b разбивается высотой h на отрезки BE и AE, где BE = b и AE = \( \frac{b(a - h)}{a} \).

Теперь рассмотрим разность длин этих отрезков:

\[ BE - AE = b - \frac{b(a - h)}{a} \]

\[ BE - AE = \frac{ab - b(a - h)}{a} \]

\[ BE - AE = \frac{bh + bh - ab}{a} \]

\[ BE - AE = \frac{2bh - ab}{a} \]

Мы знаем, что \( BD = \frac{ah}{c} \), поэтому:

\[ 2BE - AE = \frac{2bh - ab}{a} - \frac{ah}{c} \]

\[ 2BE - AE = \frac{2bh - ab - ahc}{ac} \]

\[ 2BE - AE = \frac{2b(h - ac) - ab}{ac} \]

Теперь нам нужно доказать, что \( 2BE - AE = 4 \). Давайте предположим, что \( 2BE - AE = 4 \).

\[ 4 = \frac{2b(h - ac) - ab}{ac} \]

\[ 4ac = 2b(h - ac) - ab \]

\[ 8ac = 2bh - ab \]

\[ 2bh = 8ac + ab \]

\[ bh = 4ac + \frac{ab}{2} \]

\[ bh = 4ac + ah \]

\[ b = 4c + \frac{ah}{b} \]

Это утверждение не всегда верно, так как в общем случае мы не можем утверждать, что \( b \) делится на \( \frac{ah}{b} \). Следовательно, мы не можем доказать утверждение для всех остроугольных треугольников со сторонами, представляющими собой последовательные целые числа.