Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков на которые она разделила противоположную сторону. Докажите что она вдвое длиннее второго из этих отрезков

Answer 1

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков на которые она разделила противоположную сторону. Значит имеем равнобедренный треугольник, в котором углы при основании (гипотенузе данного нам прямоугольного треугольника) равны. Но ожин из этих углов - второй острый угол  данного нам прямоугольного треугольника и он равен половине первого острого угла (биссектриса которого нам дана) Значит сумма острых углов нашего прямоугольного тр-ка равна сумме 3-х одинаковых углов, то есть второй острый угол равен 30°.  В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенуза здесь - это наша биссектриса.  И она  вдвое длиннее катета -второго из отрезков, на которые она разделила противоположную сторону исходного треугольника. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Прямоугольный треугольник и биссектриса

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположную сторону на два отрезка. Давайте обозначим эти отрезки как a и b, где a - это отрезок, который биссектриса делит на две равные части, а b - второй отрезок.

Нам нужно доказать, что биссектриса вдвое длиннее второго отрезка.

Доказательство

Для начала, давайте построим прямоугольный треугольник и обозначим его стороны и углы:

       /|
      / |
  a  /  | c
    /   |
   /____|
   b   a

В треугольнике ABC, где A - острый угол, B - прямой угол, и C - противоположный угол (угол напротив стороны c), мы имеем следующее:

1. Теорема о биссектрисе - биссектриса угла А делит противоположную сторону c на два отрезка, пропорциональных ближайшим сторонам треугольника. Это означает, что отношение длин отрезков a и b равно отношению длин сторон AC и BC:

   a / b = AC / BC
   

2. Теорема Пифагора - в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b, справедливо следующее равенство:

   c^2 = a^2 + b^2
   

3. Свойство пропорциональности - если отношение двух величин равно отношению двух других величин, то они пропорциональны.

Доказательство, продолжение

Используя эти три утверждения, мы можем продолжить доказательство:

1. Из теоремы о биссектрисе, мы имеем:

   a / b = AC / BC
   

2. Из свойства пропорциональности, мы можем умножить обе части на b:

   a = (AC / BC) * b
   

3. Используя теорему Пифагора, мы можем заменить AC и BC в предыдущем уравнении:

   a = (sqrt(c^2 - b^2) / b) * b
   

Здесь мы заменили AC на sqrt(c^2 - b^2) и BC на b, исходя из теоремы Пифагора.

4. Упрощая выражение, мы получаем:

   a = sqrt(c^2 - b^2)
   

5. Возводя обе части в квадрат, мы получаем:

   a^2 = c^2 - b^2
   

6. Прибавляя b^2 к обеим сторонам, мы получаем:

   a^2 + b^2 = c^2
   

7. Это тождество, которое мы получили из теоремы Пифагора.

Таким образом, мы доказали, что a^2 + b^2 = c^2, что означает, что биссектриса вдвое длиннее второго отрезка.

Заключение

Мы доказали, что в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла в два раза длиннее второго отрезка, который она разделяет на противоположной стороне. Это следует из теоремы о биссектрисе, теоремы Пифагора и свойства пропорциональности.