Question

Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен 60 градусов, а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника?

Answer 1

По теореме косинусов
a^2=b^2+c^2-2bcCosA
a^2=x^2+(x+10)^2-2x(x+10)*cos60
14^2=x^2+x^2+20x+100-(2x^2+20x)*1/2
14^2=2x^2+20x+100-x^2-10x
x^2+10x+100-14^2=0
x^2+10x-96=0
x=-10+-v100+4*96/2
x=10+22/2
x=16
наибольшая сторона x+10=26

Answer 2

Давайте обозначим длину более короткой стороны треугольника через \(a\) (в см). Тогда более длинная сторона будет \(a + 10\) (в см). У нас также есть третья сторона, которая равна 14 см и обозначается через \(c\).

Мы знаем, что угол между сторонами \(a\) и \(a + 10\) равен 60 градусов. Для нахождения наибольшей стороны (пусть это будет \(b\)), мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:

\[ b^2 = a^2 + (a + 10)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 10) \cdot \cos(60^\circ) \]

Также мы знаем, что третья сторона \(c\) равна 14 см, поэтому у нас есть уравнение:

\[ c^2 = a^2 + (a + 10)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 10) \cdot \cos(60^\circ) \]

Теперь давайте решим это уравнение для \(b\). Начнем с уравнения косинусов:

\[ b^2 = a^2 + (a + 10)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 10) \cdot \cos(60^\circ) \]

\[ b^2 = a^2 + (a^2 + 20a + 100) - a \cdot (a + 10) \]

\[ b^2 = 2a^2 + 20a + 100 \]

Теперь мы знаем, что третья сторона \(c\) равна 14 см, поэтому:

\[ 14^2 = 2a^2 + 20a + 100 \]

\[ 196 = 2a^2 + 20a + 100 \]

\[ 2a^2 + 20a - 96 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \(a = 2\), \(b = 20\), \(c = -96\). Подставим значения:

\[ a = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-96)}}{2 \cdot 2} \]

\[ a = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 768}}{4} \]

\[ a = \frac{-20 \pm \sqrt{1168}}{4} \]

\[ a = \frac{-20 \pm 34.24}{4} \]

Таким образом, у нас два возможных значения для \(a\):

\[ a_1 = \frac{14.24}{4} \approx 3.56 \]

\[ a_2 = \frac{-54.24}{4} \approx -13.56 \]

Поскольку длины сторон не могут быть отрицательными, отбросим отрицательное значение. Таким образом, \(a \approx 3.56\).

Теперь мы можем найти длину более длинной стороны \(b\):

\[ b^2 = 2a^2 + 20a + 100 \]

\[ b^2 = 2 \cdot (3.56)^2 + 20 \cdot 3.56 + 100 \]

\[ b^2 \approx 134.16 \]

\[ b \approx \sqrt{134.16} \approx 11.58 \]

Таким образом, наибольшая сторона треугольника примерно равна 11.58 см.