Question

В цилиндр вписан куб. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности куба

Answer 1

......................

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим некоторые величины.

Пусть \( r \) - радиус основания цилиндра, \( h \) - высота цилиндра, \( a \) - длина ребра вписанного куба.

1. Площадь полной поверхности цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi rh\), а площадь основания равна \(\pi r^2\). Таким образом, полная поверхность цилиндра равна: \[ S_{\text{цилиндра}} = 2\pi rh + \pi r^2 \]

2. Площадь поверхности куба: Площадь поверхности куба равна шести удвоенным площадям его граней, так как у куба шесть граней. Площадь одной грани равна \(a^2\). Таким образом, полная поверхность куба равна: \[ S_{\text{куба}} = 6a^2 \]

Теперь найдем отношение площадей:

\[ \frac{S_{\text{цилиндра}}}{S_{\text{куба}}} = \frac{2\pi rh + \pi r^2}{6a^2} \]

Теперь, чтобы упростить это отношение, давайте воспользуемся тем фактом, что вписанный куб в цилиндр означает, что диагональ куба равна диаметру основания цилиндра. Диагональ куба равна \(\sqrt{3}a\), и диаметр цилиндра равен \(2r\).

Таким образом, у нас есть соотношение \(2r = \sqrt{3}a\), откуда можно выразить \(r\) через \(a\): \(r = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Подставим это значение \(r\) в исходное отношение:

\[ \frac{S_{\text{цилиндра}}}{S_{\text{куба}}} = \frac{2\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)h + \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2}{6a^2} \]

Теперь можно упростить это выражение и получить окончательный ответ.