Question

6. В прямоугольном ABC треугольнике проведена высота CD к гипотенузе AB . Найдите AB, если BC = 2(корень 3) и AD = 1 см

Answer 1

Пусть   AB=x
по теореме высоты: 1*(x-1)=CD^2
по  теореме пифагора:
CD^2=(2√3)^2-(x-1)^2=12-(x-1)^2
Откуда
12-(x-1)^2=x-1
12-x^2+2x-1=x-1
 x^2-x-12=0
По виету подбором
x1=-3<0  не   подходит. 
x2=4
Ответ:4

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где CD - высота, проведенная к гипотенузе AB.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике выполняется следующее соотношение:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2.\]

Высота CD разбивает треугольник на два подтреугольника: ADC и BDC.

Из подтреугольника ADC мы можем написать:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2.\]

Из подтреугольника BDC:

\[BC^2 = BD^2 + CD^2.\]

Также мы знаем, что AC + BD = AB. Это следует из того, что AD + DB = AB, и AC = AD + CD, BD = DB + CD.

Теперь подставим выражения для AC^2 и BC^2 в уравнение Пифагора:

\[AB^2 = (AD^2 + CD^2) + BC^2.\]

Подставим также выражения для AC и BD:

\[AB^2 = (AD^2 + CD^2) + (BD^2 + CD^2).\]

Упростим уравнение:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2 + 2CD^2.\]

Теперь у нас есть уравнение, включающее AD, BD и CD. Давайте вставим данные из условия задачи:

\[AB^2 = 1^2 + BD^2 + 2 \cdot 1^2.\]

\[AB^2 = BD^2 + 3.\]

Теперь обратим внимание на треугольник BDC. Мы видим, что BD - это катет, а CD - это высота. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BDC:

\[BD^2 = BC^2 - CD^2.\]

Подставим это выражение в уравнение для AB:

\[AB^2 = (BC^2 - CD^2) + 3.\]

\[AB^2 = BC^2 - CD^2 + 3.\]

Теперь подставим значения BC и CD:

\[AB^2 = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 + 3.\]

\[AB^2 = 12 - 1 + 3.\]

\[AB^2 = 14.\]

Теперь найдем AB:

\[AB = \sqrt{14}.\]

Таким образом, длина гипотенузы AB равна \(\sqrt{14}\) см.