Question

В равносторонний трапеции ABCD с основанием AD АС = корень из 6, угол ВАС = 45 градусов, угол АСВ = 15 градусов. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции и ее основу ВС

Answer 1

В треугольнике ACB угол B=180-45-15=120.
По теореме синусов:
$\frac{AC}{sinB} = \frac{BC}{sinBAC} \\\\ BC= \frac{AC*sinBAC}{sinB} = \frac{ \sqrt{6} * \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } =2$

Радиус описанной окружности:
$R= \frac{AB*AC*AD}{4 \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-AD)} }$
$p=\frac{AD+AB+AC}{2}$

Острый угол трапеции равен 180-120=60
Угол ACD=120-15=105
По теореме синусов:
$\frac{AC}{sinD} = \frac{AD}{sinACB} \\\\ \frac{AC}{sin60} = \frac{AD}{sin105} \\\\ AD= \frac{AC*sin105}{sin60} = \frac{ \sqrt{6} *0,9659}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } =1.93 \sqrt{2} \\\\\\ \frac{AB}{sinACB} = \frac{BC}{sinBAC} \\\\ AB= \frac{BC*sin15}{sin45} = \frac{2*0,2588}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$
Далее подставляем и считаем 

Answer 2

Для начала найдем длину стороны АВ трапеции ABCD. Так как угол ВАС равен 45 градусов, то угол ВАД также равен 45 градусов (так как трапеция ABCD равнобедренная). Также известно, что угол АСВ равен 15 градусов.

Из треугольника АСВ мы можем найти угол ВСА, используя свойство суммы углов треугольника: Угол ВСА = 180 - угол ВАС - угол АСВ = 180 - 45 - 15 = 120 градусов.

Теперь мы можем найти сторону ВС треугольника АВС, используя закон синусов: BC / sin(120) = AB / sin(15). Так как угол ВСА равен 120 градусов, то угол ВАС равен 60 градусов (сумма углов треугольника АВС равна 180 градусов). Также сторона AB равна стороне AD (так как трапеция ABCD равнобедренная).

Подставим эти значения в уравнение: BC / sin(120) = AD / sin(60). BC / sin(120) = AD / sin(60) = AD / sin(120) (так как sin(120) = sin(60)). BC = AD * sin(120) / sin(60).

Так как AD = AC = √6 (так как трапеция ABCD равнобедренная и угол ВАД равен 45 градусов), то: BC = √6 * sin(120) / sin(60).

Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг трапеции ABCD. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины его диагонали. Так как диагональ трапеции ABCD проходит через центр окружности, радиусом является расстояние от центра окружности до середины диагонали. Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то середина диагонали является серединой основания AC.

Теперь найдем длину диагонали AC: AC = √(AB^2 + BC^2) = √(√6^2 + (√6 * sin(120) / sin(60))^2).

Так как радиус окружности равен половине длины диагонали AC, то радиус окружности равен: Радиус = AC / 2.

Таким образом, мы можем найти радиус окружности и основу ВС трапеции ABCD, используя эти формулы и значения.