Question

В трапеции ABCD (AD||BC) точка М лежит на стороне CD, причем CM:MD=2:3, AB=AD,BC:AD=1:3.Доказать что BD перпендикулярна AM

Answer 1

Фото::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон трапеции:

Пусть \( AB = AD = a \), \( BC = b \), \( CD = c \).

Из условия \( CM:MD = 2:3 \) мы можем представить длины \( CM \) и \( MD \) через параметр \( t \):

\[ CM = \frac{2}{5} \cdot c \] \[ MD = \frac{3}{5} \cdot c \]

Из условия \( AB = AD \) и \( BC:AD = 1:3 \) следует, что \( AD = a \), \( BC = 3a \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle AMD \) и \( \triangle BCD \).

1. В треугольнике \( \triangle AMD \): - \( AM = AD + DM = a + \frac{3}{5} \cdot c \) - \( MD = \frac{3}{5} \cdot c \)

2. В треугольнике \( \triangle BCD \): - \( BC = 3a \) - \( CD = c \)

Из угловой суммы треугольника следует, что угол \( \angle AMD \) равен сумме углов \( \angle ACD \) и \( \angle BCD \).

Теперь докажем, что \( BD \perp AM \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle AMD \) и \( \triangle BCD \).

Из треугольника \( \triangle AMD \): \[ \tan(\angle AMD) = \frac{MD}{AM} \]

Из треугольника \( \triangle BCD \): \[ \tan(\angle BCD) = \frac{BD}{DC} \]

Так как \( \angle AMD = \angle ACD + \angle BCD \), мы можем записать: \[ \tan(\angle ACD + \angle BCD) = \frac{MD}{AM} \]

Используем тригонометрическое тождество для тангенса суммы углов: \[ \tan(\angle ACD + \angle BCD) = \frac{\tan(\angle ACD) + \tan(\angle BCD)}{1 - \tan(\angle ACD) \cdot \tan(\angle BCD)} \]

Теперь подставим значения: \[ \frac{\frac{\frac{3}{5} \cdot c}{a + \frac{3}{5} \cdot c} + \frac{BD}{c}}{1 - \frac{\frac{3}{5} \cdot c}{a + \frac{3}{5} \cdot c} \cdot \frac{BD}{c}} \]

Упростим это выражение:

\[ \frac{\frac{3}{5a + 3c} + \frac{BD}{c}}{1 - \frac{3}{5a + 3c} \cdot \frac{BD}{c}} \]

\[ \frac{\frac{3c + 5a \cdot BD}{5a + 3c}}{\frac{5a + 3c - 3BD}{5a + 3c}} \]

Сокращаем на \(5a + 3c\):

\[ \frac{3c + 5a \cdot BD}{5a + 3c - 3BD} \]

Теперь у нас есть тангенс угла \( \angle ACD + \angle BCD \), и мы хотим, чтобы он был равен 0, потому что тогда угол будет прямым.

\[ \frac{3c + 5a \cdot BD}{5a + 3c - 3BD} = 0 \]

Учитывая, что \(5a + 3c - 3BD \neq 0\) (иначе знаменатель обратился бы в нуль), у нас остается:

\[ 3c + 5a \cdot BD = 0 \]

\[ BD = -\frac{3c}{5a} \]

Таким образом, мы доказали, что \( BD \) перпендикулярна \( AM \).