Question

найдите угол между лучом OA и положительной полуосью ox если A(1;3)

Answer 1

O(0;0)

A(1;3)

Составим уравнение прямой по двум точка:

(x-0)/1=(y-0)/3

x/1=y/3

3x=y

коэффициент при х-есть тангенс угла наклона луча,тогда угол равен arctg(3)

Answer 2

Для того чтобы найти угол между лучом \(OA\) и положительной полуосью \(OX\), используем следующую формулу для нахождения угла между двумя векторами в декартовой системе координат:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, а \(\cdot\) обозначает скалярное произведение.

В данном случае вектор \(\mathbf{a}\) - это вектор, направленный от начала координат \(O\) к точке \(A(1, 3)\), а вектор \(\mathbf{b}\) - это положительная полуось \(OX\), которая совпадает с направлением положительного направления оси \(X\).

\[ \mathbf{a} = \langle 1, 3 \rangle \] \[ \mathbf{b} = \langle 1, 0 \rangle \]

Теперь вычислим скалярное произведение и нормы векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 1 \] \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \] \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Теперь найдем угол:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \]

Вычислите значение \( \theta \) с помощью калькулятора или программы для работы с тригонометрией.