Question

Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке,а Дима в каждый промежуток между числами вписал их сумму .Могло ли так случиться, что все написаные Димой числа оказаться различными?

Answer 1

Сначала 1 за ним 3, 5, 7 ,9, 10, 8, 6, 4, 2 и возвращаемся в 1(по часовой).

Answer 2

Нет, все числа, написанные Димой, не могут оказаться различными.

Предположим, что все числа, написанные Димой, различны. Рассмотрим сумму всех чисел, которые вписал Дима. Всего у нас есть 10 чисел, каждое из которых вписано дважды (размещение чисел между числами Жени). То есть, сумма всех чисел, вписанных Димой, будет равна сумме чисел от 1 до 10, умноженной на 2.

Сумма чисел от 1 до 10 равна (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 55.

Таким образом, сумма всех чисел, вписанных Димой, равна 55 * 2 = 110.

Теперь рассмотрим суммы чисел, вписанных Димой, между каждой парой чисел Жени. Всего у нас есть 9 промежутков между числами Жени. Если все числа, вписанные Димой, различны, то каждая из этих сумм будет уникальна и больше или равна 1 (так как сумма двух различных чисел всегда больше или равна 1).

То есть, сумма всех чисел, вписанных Димой, между числами Жени, будет больше или равна 9.

Однако, сумма всех чисел, вписанных Димой, между числами Жени, равна 110 (как мы вычислили ранее).

Таким образом, невозможно, чтобы все числа, вписанные Димой, были различными. Всегда будет существовать хотя бы одна сумма, которая будет повторяться.