Question

Конус вписан в пирамиду, основанием которой является прямоугольная трапеция с основаниями, равными 2 и 4. Объём конуса равен 64п/81. Вычислите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

Answer 1

Начнем с того, что вспомним: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны. 
Следовательно, сумма ее боковых сторон равна 2+8=10, а

каждая боковая сторона равна 5 см.

Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания образован радиусом окружности основания конуса и высотой треугольников - боковых граней пирамиды.

Нам необходимо знать диаметр основания конуса, который в то же время является высотой трапеции. 
Опустив высоту к большему основанию из вершины В трапеции, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетами 
один =3 см (полуразность оснований) и
второй - высота трапеции
h= D основания конуса
h²=25-9=16
D=h=√16=4 см
r=2см
Для нахождения высоты конуса ( и пирамиды) применим формулу объёма конуса 
V= ⅓ S H= ⅓ π r² H
Объём конуса по условию равен ( 8п√3):3 см
⅓ π4 H=( 8п√3):3
4 π H:3=( 8п√3):3
4 H = 8 √3 
Н=2√3 см
РО=Н=2√3

Повторюсь:
Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основанияобразован радиусом окружности основания конуса и высотойтреугольников - боковых граней пирамиды. 
РМ=РК=РН=√(РО²+ОМ²)=√(12+4)=4 см
ОК=ОМ=r=2 см
Если в прямоугольном треугольнике, какими, без сомнения, являются треугольники КОР и МОР, катет равен половине гипотенузы, то он противолежит углу 30°, а второй острый угол в таком треугольнике равен 60°.

То, что диаметр основания конуса равен его образующей,   подтверждает найденное решение. 
Ответ:

искомый угол равен 60°.

Answer 2

Для решения данной задачи посмотрим на основание пирамиды, которое является прямоугольной трапецией. У нас есть трапеция с основаниями, равными 2 и 4. Обозначим меньшее основание через a (a=2) и большее основание через b (b=4).

Чтобы найти угол наклона боковых граней к плоскости основания, нам необходимо найти высоту пирамиды и радиус вписанного конуса.

Нахождение высоты пирамиды

Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся формулой для объема конуса. Мы знаем, что объем конуса равен 64π/81. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, r - радиус вписанного конуса, h - высота конуса.

Так как у нас задан объем конуса, можем переписать формулу для высоты конуса:

h = (3V) / (π * r^2).

Нахождение радиуса вписанного конуса

Для нахождения радиуса вписанного конуса обратимся к свойствам прямоугольной трапеции. Если мы проведем прямую из вершины пирамиды до середины большего основания трапеции, то эта прямая будет являться высотой пирамиды и одновременно будет являться радиусом вписанного конуса.

Таким образом, радиус вписанного конуса равен половине большего основания трапеции:

r = (b/2).

Подставляем известные значения

Используя известные значения, подставим их в формулы:

h = (3 * (64π/81)) / (π * ((4/2)^2)) = (192π/81) / (4π) = 48 / 4 = 12.

r = (4/2) = 2.

Вычисление угла наклона боковых граней

Теперь, имея высоту пирамиды и радиус вписанного конуса, мы можем найти угол наклона боковых граней к плоскости основания. В прямоугольной трапеции, угол наклона боковых граней к плоскости основания равен арктангенсу отношения радиуса вписанного конуса к высоте пирамиды:

угол = arctan(r/h) = arctan(2/12).

Для вычисления этого угла вам потребуется калькулятор или математическое программное обеспечение. В итоге получится значение угла наклона боковых граней к плоскости основания пирамиды.