Question

В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если её периметр равен 48, а большее основание 18

Answer 1

Равнобедренная трапеция ABCD. Диагональ АС - биссектриса. Тогда тр-к АВС - равнобедренный (угол САD =<FCD - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС).
Значит АВ = ВС=CD, то есть периметр трапеции равен 3Х+18 = 48. Отсюда Х=10.
Средняя линия равна (!0+18):2 = 14.

Answer 2

Давайте обозначим данную равнобедренную трапецию следующим образом:

- \( a \) и \( b \) - основания трапеции (большее и меньшее соответственно), - \( c \) - боковое ребро (сторона между основаниями), - \( d \) - диагональ трапеции (которая делит острый угол пополам).

Согласно условию, трапеция равнобедренная, поэтому \( a = b \).

Также известно, что периметр трапеции равен 48:

\[ P = a + b + c_1 + c_2 \]

Поскольку \( a = b \), это упрощается до:

\[ P = 2a + c_1 + c_2 \]

Теперь мы знаем, что большее основание \( a \) равно 18:

\[ P = 2(18) + c_1 + c_2 \]

\[ 48 = 36 + c_1 + c_2 \]

\[ c_1 + c_2 = 12 \]

Также известно, что диагональ \( d \) делит острый угол пополам. Это создает два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты \( c_1 \), \( c_2 \) и гипотенузу \( d \).

Теорема Пифагора для одного из этих треугольников:

\[ c_1^2 + c_2^2 = d^2 \]

У нас также есть уравнение для суммы катетов:

\[ c_1 + c_2 = 12 \]

Мы можем использовать эти два уравнения, чтобы решить систему и найти значения \( c_1 \) и \( c_2 \), а затем найти среднюю линию.

Давайте решим эту систему уравнений. Выразим \( c_1 \) из второго уравнения:

\[ c_1 = 12 - c_2 \]

Подставим это в первое уравнение:

\[ (12 - c_2)^2 + c_2^2 = d^2 \]

Решив это уравнение, мы найдем значения \( c_1 \) и \( c_2 \). После этого можно найти среднюю линию, которая равна половине суммы оснований:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{a + b}{2} \]

Поскольку \( a = b \), это просто:

\[ \text{Средняя линия} = a \]