Question

В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность. Найдите её радиус, если известно, что АВ=8, а величина угла АВС равна 150 градусам.

Answer 1

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.

Трапеция  ABCD (BC||AD - основания, AB=CD - боковые стороны)

Проведем высоту BH
Рассмотрим прямоугольный ΔABH:
AB =8 - гипотенуза
искомая высота BH =? - катет
∠A=180°-150°=30°(∠A и ∠ABC - внутренние односторонние углы при BC||AD и секущей AB)

угол, противолежащий углу катет и гипотенуза связаны через формулу синуса :
$sinA= \frac{BH}{AB}$
$sin30= \frac{BH}{8}$
$\frac{1}{2}= \frac{BH}{8}$
$BH= \frac{1}{2}*8$
$BH=4$

отсюда получаем, что радиус вписанной окружности=BH:2=4:2=2

Answer 2

Решение:

Для начала, давайте нарисуем данную трапецию ABCD и вписанную в нее окружность:

      A _________ B
       /         \
      /           \
     /             \
    /_____________\
   D               C

Дано: - AB = 8 (длина основания трапеции) - Угол ABC = 150 градусов

Нам также известно, что вписанная окружность касается всех сторон трапеции. Обозначим центр окружности как O, а радиус как r.

Для решения задачи воспользуемся свойством, которое гласит, что линия, соединяющая центр окружности с точкой касания, перпендикулярна касательной. Таким образом, линия AO является радиусом окружности и перпендикулярна стороне AB трапеции.

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то сторона AB параллельна стороне CD, и углы ABC и ADC равны. Это позволяет нам построить высоту трапеции, которая будет перпендикулярна основаниям и проходит через центр окружности O.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Угол OAB является прямым углом, так как линия AO перпендикулярна стороне AB. Угол ABO равен половине угла ABC, так как AB является основанием треугольника ABC.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник AOB, в котором известны гипотенуза AO (равна радиусу окружности) и угол ABO (равен половине угла ABC).

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса окружности.

Используем тригонометрическую функцию косинуса:

cos(ABO) = AO / AB

Так как угол ABO равен половине угла ABC, то ABO = 150 градусов / 2 = 75 градусов.

Подставим известные значения:

cos(75) = AO / 8

Решим уравнение:

AO = 8 * cos(75)

Используем тригонометрическую функцию косинуса для 75 градусов:

cos(75) ≈ 0.2588

Подставим это значение в уравнение:

AO ≈ 8 * 0.2588

Вычислим:

AO ≈ 2.071

Таким образом, радиус окружности примерно равен 2.071.

Ответ: Радиус окружности ≈ 2.071.