Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 (градусов). Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Answer 1

проведём высоту, так как этот треугольник равнобедренный высота=биссектриса=медиана      

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и окружности, описанной вокруг него.

Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. В данной задаче боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4.

Свойства окружности, описанной вокруг треугольника

Окружность, описанная вокруг треугольника, проходит через все вершины треугольника. Каждая сторона треугольника является хордой окружности. Диаметр окружности - это отрезок, проходящий через центр окружности и являющийся самой длинной хордой.

Решение задачи

Угол при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120 градусам. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Обозначим один из этих углов как α. Тогда сумма углов при основании равна 180 градусам, и мы можем записать уравнение:

2α + 120 = 180.

Решаем уравнение:

2α = 180 - 120, 2α = 60, α = 30.

Таким образом, каждый угол при основании равен 30 градусам.

Так как треугольник равнобедренный, то высота, опущенная из вершины на основание, будет также являться медианой и медианой треугольника. Высота разделяет основание на две равные части, обозначим их как a и a. Так как угол при основании равен 30 градусам, то у нас получается прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 90 градусам, а другой угол равен 30 градусам.

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Так как у нас известны две стороны прямоугольного треугольника (a и 4) и угол между ними (30 градусов), мы можем найти третью сторону треугольника (базу) с помощью тригонометрии.

Обозначим базу треугольника как b. Тогда мы можем записать уравнение:

cos(30) = a / b.

Так как cos(30) = √3 / 2, то мы можем решить уравнение:

√3 / 2 = a / b, √3 * b = 2 * a, b = (2 * a) / √3.

Теперь мы знаем стороны треугольника a и b. Чтобы найти диаметр окружности, описанной вокруг треугольника, нужно найти самую длинную хорду треугольника, то есть длину отрезка, соединяющего две вершины треугольника, не являющиеся основанием.

Так как треугольник равнобедренный, то мы можем найти эту длину, используя теорему Пифагора:

(0.5 * b)^2 + a^2 = d^2,

где d - диаметр окружности.

Подставляем значение b:

(0.5 * (2 * a) / √3)^2 + a^2 = d^2, (4 * a^2) / 12 + a^2 = d^2, (5 * a^2) / 12 = d^2.

Теперь мы можем найти диаметр окружности, возведя обе части уравнения в квадрат:

d = √((5 * a^2) / 12).

Подставляем значение a:

d = √((5 * 4^2) / 12), d = √(80 / 12), d ≈ √6.67, d ≈ 2.58.

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг данного треугольника, примерно равен 2.58.