Question

На вершине тупого угла равнобедренной трапеции АВСD проведен перпендикуляр СЕ к прямой АD, содержащей большее основание. Докажите, что АЕ = (АD+ВС)/2.

Answer 1

проведём в трапеции ещё одну высоту из вершины В. пусть ВН. Трапеция разбилась на 2 равных треугольника и прямоугольник. 

АЕ=АН+НЕ

НЕ=ВС у прямоугольника противоположные стороны равны

треугольник АВН=треугольнику СЕД по гипотенузе и катету, у них АВ=СД потому что трапеция равнобедренная, ВН=СЕ как высоты трапеции

из равенства треугольников следует, что

АН=ЕД=(АД-НЕ):2=(АД-ВС):2=АД/2-ВС/2

АЕ=АД/2-ВС/2+ВС=АД/2+ВС/2=(АД+ВС)/2

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для доказательства равенства AE = (AD + BC) / 2 на вершине тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведем перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AED и CEB.

2. Поскольку трапеция ABCD является равнобедренной, то основания AD и BC равны.

3. Из свойства равнобедренной трапеции следует, что углы A и B равны.

4. Так как перпендикуляр CE проведен к прямой AD, то угол AED прямой.

5. Также из свойства равнобедренной трапеции следует, что угол B равен углу CEB.

6. Из пунктов 4 и 5 следует, что углы AED и CEB равны.

7. По свойству прямого угла, угол E равен 90 градусов.

8. Таким образом, получаем, что треугольник AED прямоугольный.

9. Следовательно, по теореме Пифагора в треугольнике AED: AE^2 = AD^2 + DE^2.

10. Рассмотрим треугольник CEB. Поскольку углы CEB и AED равны, то эти треугольники подобны.

11. Из подобия треугольников следует, что отношение длины стороны AE к длине стороны AD равно отношению длины стороны CE к длине стороны CB.

12. Поскольку треугольник CEB прямоугольный, то CE равно половине гипотенузы CB.

13. Таким образом, получаем, что AE / AD = CE / CB = 1/2.

14. Умножим обе части равенства на AD: AE = (AD / AD) * (AD / 2) = (AD + BC) / 2.

15. Таким образом, доказано, что AE = (AD + BC) / 2 на вершине тупого угла равнобедренной трапеции ABCD.