Question

Докажите, что если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.

Answer 1

Четырёхугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных его углов равна 180 градусов. Пусть углы 1 и 2 - углы при большем основании, углы 3 и 4 соответственно меньшего. 1 + 4 = 180; 2 + 4 = 180 (угол 2 равен соответственному ему углу при параллельных прямых, смежному углу 4) из данных равенств следует, что угол 1 = 2 , что и требовалось доказать.

Answer 2

Определение трапеции и равнобедренной трапеции

Для начала, давайте определим, что такое трапеция. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны непараллельны. Стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами, а стороны, которые параллельны, называются основаниями трапеции.

Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой боковые стороны равны по длине. Это означает, что у равнобедренной трапеции две пары равных углов и две пары равных сторон.

Доказательство

Теперь, чтобы доказать, что если вокруг трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной, давайте рассмотрим следующее:

Предположим, что вокруг трапеции можно описать окружность. Это означает, что существует окружность, которая проходит через все вершины трапеции.

Из свойств окружности следует, что радиус окружности, проведенный к основаниям трапеции, будет перпендикулярен к этим основаниям. Также, радиус окружности, проведенный к боковым сторонам трапеции, будет перпендикулярен к этим боковым сторонам.

Так как радиус окружности, проведенный к основаниям трапеции, перпендикулярен к этим основаниям, то он будет делить основания пополам. Аналогично, радиус окружности, проведенный к боковым сторонам трапеции, будет делить боковые стороны пополам.

Таким образом, получаем, что боковые стороны трапеции равны по длине, что является определением равнобедренной трапеции.

Заключение

Таким образом, если вокруг трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Это следует из свойств окружности и определения равнобедренной трапеции.