Question

Докажите, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее средние линии взаимно перпендикулярны.

Answer 1

Доказательство во вложении   
__________________________

Answer 2

Рассмотрим трапецию, являющуюся равнобочной на рисунке слева, достроим ее до равнобедренного треугольника, средняя линия соединяющая соседние стороны параллельна основаниям трапеции, проведем высоту в равнобедренном треугольнике, как известно, высота в равнобедренном треугольнике является медианой, значит она поделит оба основания на две равные части, и будет являться средней линией соединяющей основания, исходя из свойств высоты равнобедренного треугольника, получаем что эти средние линии взаимо-перпендикулярны.
Теперь рассмотрим произвольную трапецию, на рисунке справа нарисованы возможные варианты произвольных трапеций, аналогично проводим средние линии, в случае когда у треугольника тупой угол, явно видно что является прямым доказательством утверждения, но рассмотрим треугольник с острыми углами, докажем что медиана не перпендикулярна средней линии трапеции:
Так как треугольник произвольный остроугольный, то медиана проведенная из вершины не совпадает с высотой, проведенной на рисунке, тогда получаем что только высота перпендикулярна средней линии трапеции, в то время как медиана делит ее в некотором отношении, в результате получаем что средняя линия соединяющая основания трапеции не перпендикулярна средней линии трапеции(так как не совпадает с высотой) что и требовалось доказать!

Answer 3

Трапеция и ее свойства

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Другие две стороны называются боковыми сторонами, а стороны, которые не параллельны, называются основаниями. Трапеция может быть равнобедренной, если ее боковые стороны и углы при основаниях равны.

Доказательство того, что трапеция равнобедренная, когда ее средние линии взаимно перпендикулярны

Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть M и N - середины боковых сторон BC и AD соответственно.

Утверждение: Трапеция ABCD является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее средние линии MN и AC взаимно перпендикулярны.

Доказательство:

1. Предположим, что трапеция ABCD равнобедренная. Это означает, что боковые стороны BC и AD равны, а углы при основаниях AB и CD также равны. 2. Рассмотрим треугольники BMC и AND. По свойству серединного перпендикуляра, средняя линия MN перпендикулярна к основанию BC и AD, так как M и N - середины соответствующих сторон. 3. Также, по свойству равнобедренной трапеции, углы при основаниях AB и CD равны. Пусть эти углы обозначаются как ∠B и ∠D соответственно. 4. Так как углы при основаниях равны, то ∠B = ∠D. 5. Рассмотрим треугольники BAC и CDA. У них есть общий угол ∠BAC = ∠CDA и у них также есть вертикальные углы ∠B = ∠D. 6. Из этих равенств следует, что треугольники BAC и CDA равны по двум углам и общей стороне. 7. Следовательно, стороны AC и BD равны. 8. Таким образом, трапеция ABCD является равнобедренной и ее средние линии MN и AC взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее средние линии взаимно перпендикулярны.