Question

Внутри треугольника ABC взята точка М. докажите,что площади треугольников BAD и BCM равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника ABC, проведённой из вершины B. Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Для начала определимся с обозначениями:

Пусть \( S_{\triangle XYZ} \) обозначает площадь треугольника \(\triangle XYZ\). Пусть \( D \) - середина стороны \( BC \), \( E \) - середина стороны \( AC \), \( F \) - середина стороны \( AB \) треугольника \( \triangle ABC \). Тогда медианы \( AD \), \( BE \) и \( CF \) пересекаются в точке \( M \).

Доказательство равенства площадей треугольников

1. Необходимость условия

Пусть \( S_{\triangle BAD} = S_{\triangle BCM} \). Тогда, так как \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BAD} + S_{\triangle BCM} + S_{\triangle AMC} \), где \( S_{\triangle AMC} \) - площадь треугольника \( \triangle AMC \), то \( S_{\triangle AMC} = 0 \). Это возможно только если точка \( M \) лежит на отрезке \( AD \), то есть \( M \) лежит на медиане \( AD \), проведенной из вершины \( A \).

2. Достаточность условия

Пусть теперь точка \( M \) лежит на медиане \( AD \). Проведем линию параллельную \( BC \) через точку \( M \) и обозначим точку пересечения с \( AB \) как \( P \). Тогда треугольники \( \triangle AMP \) и \( \triangle ABC \) подобны, и соответствующие стороны пропорциональны. Таким образом, \(\frac{S_{\triangle AMP}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{MP^2}{BC^2}\). Аналогично, проведя линию параллельную \( AC \) через точку \( M \) и обозначив точку пересечения с \( BC \) как \( Q \), получим \(\frac{S_{\triangle AMQ}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{MQ^2}{AC^2}\).

Так как \( D \) - середина стороны \( BC \) и \( E \) - середина стороны \( AC \), то \( MD = \frac{BC}{2} \) и \( ME = \frac{AC}{2} \). Следовательно, \( MP = MD \) и \( MQ = ME \). Таким образом, \( \frac{MP^2}{BC^2} = \frac{MQ^2}{AC^2} = \frac{1}{4} \). Отсюда следует, что \( S_{\triangle AMP} = S_{\triangle AMQ} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} \).

Теперь рассмотрим площади треугольников \( \triangle BAD \) и \( \triangle BCM \). Так как \( S_{\triangle BAD} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AMP} \) и \( S_{\triangle BCM} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AMQ} \), то \( S_{\triangle BAD} = S_{\triangle BCM} \).

Построение треугольника из медиан

Из медианы \(AD\) треугольника \(ABC\) можно построить треугольник, взяв как вершины точки \(B\), \(C\) и \(M\). Из доказательства равенства площадей треугольников следует, что площадь этого треугольника равна \( \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} \), так как он подобен треугольнику \(ABC\) и коэффициент подобия равен \(\frac{1}{2}\) по отношению к сторонам \(BC\) и \(AD\