Question

Решите все 4 задачи, из обоих уровней. Т.е. дайте полное пояснение: Дано, найти, решение. По возможности прикрепите фотографии с чертежами. Решение задач на уровне 8 класса. Ответы максимально полные!

Answer 1

1 уровень
1)  PM = 5 ; OM ┴ PM .
OP  -- ?
MO =OP/2  как катет лежащий против острого угла 30° .
 OP =2*MO =2*5 =10.
2)  PM²+MK² =6² +8² =36+64 =100 =10² =PK² .
PM²+MK² =PK² ⇒ <PMK =90° (по обратной  теореме Пифагора).
Таким образом  MK  будет отрезок касательной проведенной из точки K к окружности с центром в точке P и радиусом  MP.

2 уровень
1) <MPK =90° ;OP =2√2 ;PM  и  PK  касательные .
R -? 
OM ┴ PM ;OK ┴ PK ;<MPK =90°  значит OMPK  прямоугольник , но  
PM =PK (свойство касательных) ,следовательно OMPK квадрат:
  OM=OK =PM =PK =R.
 Из  ΔPKO (или Δ PMO ) по теореме Пифагора  R² +R² =OP²⇔2R² =OP² ⇒
R√2 =OP =2√2.
R√2 =2√2  ⇒R =2.
2)
В равносторонном треугольнике все биссектрисы равны между собой они
одновременно являются и медианами и  высотами т.е. они перпендикулярны сторонам треугольника .Стороны можно принять
как касательные к окружности с центром в вершине противополоного угла и радиусом длиною биссектрисы .