Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Известно, что AT=7, BT=4. Найдите отношение AM/BM

Answer 1

Пусть KO - диаметр большей окружности, перпендикулярный AB. Точка K лежит на большей окружности.
Ясно, что KO II O1T; так как O1T тоже перпендикулярно AB.
Пусть прямая MT пересекает прямую KO в точке K1.
На чертеже эти точки K и K1 изображены, как одна - но именно это и есть предмет доказательства. Я буду доказывать, что точки K и K1 совпадают.
На самом деле все уже очевидно - треугольники OK1M и O1TM подобны, а треугольник O1TM очевидно равнобедренный :). Поэтому OK1 = OM = OK, и точки K и K1 совпадают.
Это означает, что прямая MT, будучи продолжена за точку T, делит дугу AKB пополам (я напомню, что KO - диаметр, перпендикулярный хорде AB, поэтому точка K делит дугу AKB пополам. ).
Углы AMK и BMK - вписанные и опираются на равные дуги, поэтому они равны. Следовательно MT - биссектриса угла AMB;
AM/MB = AT/BT = 7/4;