Question

Диагональ прямоугольной трапеции делит острый угол пополам, а высоту, проведенную из вершины тупого угла на отрезки 9 см и 15 см. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

рассмотрим прямоугольный треугольник   АВЕ,  где ВЕ  высота,     значит   диагональ отсекает  пропорциональные отрезки , пусть AB=15x , 

  AE=9x 

 по теореме пифагора 

 15+9 = 24  

  24^2+(9x)^2 = (15x)^2

    576+81x^2=225x^2

     x=2 

 Значит  сторона   АВ=30   .   АЕ=18  . 

  Треуольник  АВД подобен  АМЕ ,  где точка  М пересечение    биссектрисы  и высоты,  пусть     ЕД =    у 

  9/18  = 24/18+y

   y=30 

   значит 

  значит  периметр    равен        P=2*30+48+24    =  132

Answer 2

В прямоугольной трапеции диагональ=биссектриса  острого угла и делит высоту на два отрезка. 

Пусть в трапеции АВСD  ВС  меньшее основание, АD - большее,  сторона АВ - перпендикулярна основаниям. 

Диагональ ВD - биссектриса угла СDА. 

СН - высота из С к АD. 

Точка М - пересечение диагонали и высоты трапеции. 

Рассмотрим треугольник СНD. 

В этом треугольнике биссектриса угла СDН делит противоположную сторону СН на отрезки 15 и 9.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону 
в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

 

Следовательно, СD:DН=СМ:МН=15:9 или 5:3, если сократить на 3
Пусть коэффициент отношения сторон ВD и НD будет х.
Тогда СD=5х, DН=3х, и по т.Пифагора
СD²-НD²=СН²
25х²-9х²=576
16х²=576
х²=36
х=6 см
СD=5х=30 см
НD=3х=18 см
В треугольнике ВСD углы СDВ и СВD равны, так как углы ВDА и СВD трапеции равны как накрестлежащие, а ∠СDВ=∠ВDА по условию.
Так как углы при основании ВD треугольника ВСD равны,

треугольник ВСD - равнобедренный и ВС=СD.
АН=ВС как сторона прямоугольника АВСН.
АD=АН+НD=30+18=48 см
Р=АВ+ВС+СD+АD=24+30+30+48=132 см