Question

У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ=ВС) бісектриса кута А перетинає сторону ВС у точці М. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ∠АМВ=117°

Answer 1

Розглянемо трикутник АМС. Сумка кутів трикутника дорівнює 180°, тоді ∠МАС+∠МСА+∠АМС=180°. 
Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Кути АMВ i AMC суміжні. Відомо, що  ∠АМВ=117°, отже ∠АМС=180°-117°=63°
Бісектриса ділить кут навпіл отже  ∠ВАС= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС. 
Трикутник АВС  рівнобедрений тому кути при основі рівні тобто ∠ВАС=∠ВСА, отже оскільки  ∠ВАС=2∠МАС, то і  ∠ВСА=2∠МАС
Звідси ∠МАС+2∠МАС+63°.=180°.
3∠МАС=180°-63°
3∠МАС=117°
∠МАС=39°
∠ВАС=∠ВСА= ∠ВАМ+ ∠МАС=2∠МАС=2*39°=78°
∠АВС=180°-78°-78°=24°- за т. про суму кутів трикутника. 
Відпповідь: ∠АВС=24°,  ∠ВАС=∠ВСА=78°

Answer 2

Давайте розглянемо рівнобедрений трикутник ABC, де AB = BC, і бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці M.

Позначимо кути трикутника ABC:

1. ∠A - кут при вершині A. 2. ∠B - кут при вершині B. 3. ∠C - кут при вершині C.

Також введемо деякі відомі дані:

4. AM - бісектриса кута A. 5. ∠AMВ = 117° - заданий кут.

Ми знаємо, що у рівнобедреному трикутнику бісектриса кута розділить протилежну сторону на дві рівні частини. Отже, BM = MC.

За теоремою про суму кутів у трикутнику, сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180°. Запишемо це для трикутника AMB та трикутника AMC:

Для трикутника AMB: \[ \angle A + \angle AMB + \angle B = 180°. \]

Для трикутника AMC: \[ \angle A + \angle AMC + \angle C = 180°. \]

Також ми знаємо, що \(\angle AMB = \angle C\) (оскільки BM = MC) та \(\angle AMC = \angle B\) (оскільки AM - бісектриса кута A).

Замінимо ці відомі значення у рівняннях:

Для трикутника AMB: \[ \angle A + \angle C + \angle B = 180°. \]

Для трикутника AMC: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180°. \]

Тепер додамо ці два рівняння разом: \[ (\angle A + \angle C + \angle B) + (\angle A + \angle B + \angle C) = 2(\angle A + \angle B + \angle C) = 360°. \]

Розділімо обидва боки на 2: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180°. \]

Знаючи це, можемо виразити \(\angle B\) і \(\angle C\) через \(\angle A\): \[ \angle B + \angle C = 180° - \angle A. \]

Тепер врахуємо, що \(\angle AMB = \angle C\) та \(\angle AMC = \angle B\): \[ \angle AMB + \angle AMC = \angle C + \angle B = 180° - \angle A. \]

Тепер врахуємо відоме значення \(\angle AMB + \angle AMC = 117°\): \[ 180° - \angle A = 117°. \]

Відсюда можна знайти \(\angle A\): \[ \angle A = 180° - 117° = 63°. \]

Тепер можемо знайти \(\angle B\) і \(\angle C\): \[ \angle B + \angle C = 180° - \angle A = 180° - 63° = 117°. \]

Отже, кути трикутника ABC будуть наступними: \[ \angle A = 63°, \] \[ \angle B = \angle C = \frac{117°}{2} = 58.5°. \]