Question

Трапеция ABCD вписана в окружность. Хорда ВР пересекает под прямым углом основание AD в точке М, причём АМ = 2, МР = 4. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 18.

Answer 1

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому если наряду с высотой BM провести высоту CN, то ND=AM=2, а тогда полусумма оснований (равная средней линии) равна BC+2⇒BC=MN=16⇒MD=18. Теперь легко найти высоту трапеции:
AM·MD=BM·MP⇒BM=(2·18)/4=9⇒ площадь может быть вычислена по формуле полусумма оснований, умноженная на высоту:

S=18·9=162

Ответ: 162

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и хорды, а также тем, что средняя линия трапеции делит её на две равные по площади части.

1. Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, то углы, заключенные между хордой ВР и сторонами трапеции, равны половине от измеренного ими дуги. Таким образом, угол BCD = угол BAD, и угол BAC = угол BDC.

2. Из условия задачи известно, что AM = 2 и MR = 4. Поскольку AM = MD (так как это радиус окружности), то получаем, что MD = 2, а BD = 2 * MR = 8.

3. Теперь можем рассмотреть треугольник BMD. Используем теорему Пифагора: \[ BM^2 + MD^2 = BD^2 \] \[ BM^2 + 2^2 = 8^2 \] \[ BM^2 = 64 - 4 \] \[ BM = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \]

4. Так как средняя линия трапеции делит её на две равные по площади части, то площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту: \[ S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h \] Заметим, что \( AB = CD = 2 \cdot BM \) (так как трапеция вписана в окружность и радиус проведенный к основаниям перпендикулярен им). Также из свойства средней линии мы знаем, что \( h = \frac{1}{2} \cdot AC \).

Таким образом, \[ S = \frac{1}{2} (2 \cdot BM + 2 \cdot BM) \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} (2 \cdot 2\sqrt{15} + 2 \cdot 2\sqrt{15}) \cdot \frac{1}{2} \cdot 18 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{15} \cdot 9 \] \[ S = 18\sqrt{15} \]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(18\sqrt{15}\).