Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен ß. Выразите через с и ß биссектрису второго острого угла

Answer 1

Биссектриса делит угол пополам, а сумма острых углов равна 90 градусов, значит биссектриса делит острый угол на углы равные (90-ß)/2.

Тогда найбольший угол в меньшем треугольнике с гипотенузой равен:

180 - ß - (90-ß)/2 = (360 - 2ß-90 + ß)/2 = (270-ß)/2

Используем теорему синусов:

$\frac{c}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{x}{sin\beta}$

Где х - искомая биссектриса. Получаем:

$\frac{c}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{x}{sin\beta}\\ x=\frac{c\cdot sin\beta}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{c\cdot sin\beta}{sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\beta}{2})}$

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте сначала вспомним определение биссектрисы угла. Биссектриса угла делит его на две равные части и проходит через вершину угла и середину противоположной стороны.

Для удобства обозначений, пусть гипотенуза равна `c`, углы прямоугольного треугольника обозначим как `α`, `ß` и `γ`, где `γ` - прямой угол. Искомая биссектриса будет проходить через вершину угла `α` и середину противоположной стороны, которую мы обозначим как `b`.

Так как треугольник прямоугольный, сумма углов треугольника равна 180 градусов. Поэтому угол `γ` равен 90 градусов. Также известно, что один из острых углов, `ß`, равен заданному значению. Значит, угол `α` можно выразить как разность 90 и `ß` градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника, чтобы выразить сторону `b` через `c` и углы `α` и `ß`. В данном случае, мы можем использовать тангенс угла `α`, так как известны гипотенуза `c` и противоположная сторона `b`. Таким образом, имеем:

тангенс(α) = b / c

Теперь выразим тангенс угла `α` через известные значения:

тангенс(α) = тангенс(90 - ß) = котангенс(ß)

Теперь мы можем записать уравнение для биссектрисы. Так как биссектриса делит угол `α` пополам, она создает два треугольника с равными углами. То есть, отношение стороны `b` к стороне `c` в одном треугольнике равно отношению биссектрисы к стороне `c` в другом треугольнике. Поэтому мы можем записать следующее:

тангенс(α/2) = b / c = биссектриса / c

Теперь, зная, что тангенс половины угла можно выразить через тангенс угла, мы можем записать окончательное уравнение:

биссектриса = c * тангенс(ß/2) / тангенс(90 - ß)

Таким образом, выразив биссектрису через `c` и `ß`, мы получаем окончательный ответ.