Question

В угол,величина которого составляет 60 градусов,вписаны два круга,которые внешне соприкасаются друг к другу. найти радиус меньшего если радиус большего равен 12 см.

Answer 1

Искомый радиус O'D (или О'с). для его нахождения можно сначала найти отрезок АО, который будет в два раза больше радиуса большей окружности. это следует из того, что в равностороннем треугольнике центр вписанной (и описанной же) окружности делит высоту в пропорции 1/2. получается что АО = 24. теперь можно найти АD для чего из АО вычтем известный радиус окружности. AD=12. тогда радиус меньшей окружности будет 12/3=4 - опять же из свойства, что центр окружности вписанной в равносторонний треугольник делит высоту в пропорции 1/2

Answer 2

Давайте обозначим радиус большего круга как \( R \), а радиус меньшего круга как \( r \). Из условия задачи известно, что радиус большего круга \( R \) равен 12 см. Также известно, что угол в углу вписанного в угол круга составляет 60 градусов.

В данной задаче важно отметить, что центр меньшего круга лежит на радиусе большего круга и образует вместе с концами радиуса большего круга угол в 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный центром большего круга, центром меньшего круга и одним из концов радиуса большего круга. Этот треугольник является равносторонним треугольником, так как угол при центре равен 60 градусам.

Таким образом, длина стороны этого треугольника равна \( R \), что равно 12 см (радиус большего круга).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусами большего и меньшего кругов, а также отрезком между центром большего и меньшего кругов. Этот треугольник также является равносторонним.

Таким образом, мы можем записать уравнение для этого треугольника:

\[ R^2 = r^2 + (R - r)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 12^2 = r^2 + (12 - r)^2 \]

Решим это уравнение для \( r \):

\[ 144 = r^2 + 144 - 24r + r^2 \]

\[ 2r^2 - 24r = 0 \]

\[ 2r(r - 12) = 0 \]

Таким образом, получаем два возможных значения для \( r \): \( r = 0 \) или \( r = 12 \). Однако \( r \) не может быть равен 0, так как в таком случае меньший круг совпадет с центром большего круга. Таким образом, решение задачи: \( r = 12 \) см.