Question

На сторонах параллелограмма ABCD, тупой угол которого равен 120 градусов, отложены векторы AB и AD, такие что |AB|=3 и |AD|=5. Найдите угол между векторами AB и AC.

Answer 1

Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены.
Тогда мы можем найти модуль вектора АС по теореме косинусов.
АС|=√(АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*Cos120°). Или
|АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7.
Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы
Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или
Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно).
Искомый угол по таблице равен 38,2°.
 
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А.
Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2)
Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3.
Вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7.
Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или
Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786.
<BAC ≈ 38,2°

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства векторов в параллелограмме.

Известно, что векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, имеют общее начало и равны по модулю и направлению. Таким образом, мы можем рассмотреть треугольник ABC, в котором вектор AB и вектор AD являются двумя из его сторон, а вектор AC - это диагональ параллелограмма.

Исходя из условия, |AB| = 3 и |AD| = 5. Так как угол между векторами AB и AD равен 120 градусам, нам нужно найти вектор AC и затем использовать скалярное произведение векторов, чтобы найти угол между AB и AC.

Для нахождения вектора AC можем воспользоваться свойством суммы векторов в параллелограмме: AC = AB + AD.

Сначала найдем вектор AB и вектор AD в виде координат:

Пусть вектор AB = \( \overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle \), и |AB| = 3. По условию |AB| = 3, следовательно, \( \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 3 \).

Пусть вектор AD = \( \overrightarrow{AD} = \langle x_2, y_2 \rangle \), и |AD| = 5. Аналогично, \( \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = 5 \).

Также известно, что угол между векторами AB и AD равен 120 градусам. Пользуясь формулой для скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos(\theta) \), где \( \theta \) - угол между векторами, можно составить уравнение:

\[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = |AB| \cdot |AD| \cdot \cos(120^\circ) \] \[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 3 \cdot 5 \cdot (-0.5) \] \[ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = -7.5 \]

Теперь, когда у нас есть два уравнения: 1) \( x_1^2 + y_1^2 = 9 \) 2) \( x_2^2 + y_2^2 = 25 \) 3) \( x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = -7.5 \)

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения \(x_1, y_1, x_2, y_2\) и затем вычислить вектор AC = AB + AD.

После того, как найден вектор AC, мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами через скалярное произведение:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \]

Таким образом, найдя \( \theta \), получим угол между векторами AB и AC.