Question

В правильной треугольной пирамиде SABC M-середина ребра AB, S-вершина. Известно, что BC=3, а площадь боковой поверхности пирамиды=45. Найдите длину отрезка SM.

Answer 1

Поскольку пирамида правильная, то: 1) в основании равносторонний треугольник (АВ = ВС = АС = 3); 2) боковые ребра пирамиды также одинаковы между собой (SA = SB = SC).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S = 1/2*p*a (где р = полупериметр основания (равен 9/2), а = апофема).
Рассмотрим треугольник SAB. Он равнобедренный (т.к. ребра пирамиды в данном случае одинаковы). А поскольку М - середина АВ, то отрезок SM - медиана этого треугольника. И по св-ву равнобедренного треугольника является также высотой.
Отсюда следует, что SM - апофема боковой грани SAB.
Ее мы найдем из формулы площади боковой поверхности:
45 = 1/2*9*а
откуда а = 10. Значит, SM = 10.

Answer 2

Поскольку треугольник SAB – правильный, значит, угол ASB равен 60 градусам.

Также известно, что bc = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить по формуле: S = 0,5 * a * p, где a – длина стороны основания, p – периметр основания пирамиды.

Так как в данном случае пирамида правильная, все стороны основания равны. Обозначим длину стороны основания пирамиды как a.

Тогда периметр основания равен 3 * a.

Подставляя значения в формулу для площади боковой поверхности, получаем:

45 = 0,5 * a * (3 * a).

Simplifying, we get:

45 = 1.5 * a^2.

Решая уравнение, найдем значение a:

1.5 * a^2 = 45.

Деля обе стороны на 1.5, получаем:

a^2 = 30.

Извлекая квадратный корень, получаем:

a = √30.

Так как м есть середина ребра AB, то длина отрезка AM равна a/2:

AM = √30 / 2.

Также, поскольку AB = 2 * bc, получаем:

AB = 2 * 3 = 6.

Отрезок SM является высотой треугольника SAB. Чтобы найти его длину, должны мы знаем длину a, по которой мы можем найти SM.

Итак, длина отрезка SM равна AM вдоль высоты пирамиды. Значит,

SM = AM.

Подставляем значение AM:

SM = √30 / 2.