Question

Точка находится на расстоянии 10 см от всех вершин равностороннего треугольника со стороной 6√3 см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Answer 1

Если точка удалена на одно и то же расстояние от всех вершин, то она принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через точку пересечения его серединных перпендикуляров (в нашем случае серед. перпендикуляры совпадают с высотами).
Пусть (.) K - точка, о которой идет речь в условии,
(.) N - точка пересечения высот треугольника (ортоцентр).
Рассмотрим прямоугольный тр. ΔKNB, в котором угол при вершине N прямой. NB - 2/3 h - высоты тр. ΔABC. KB - данное нам расстояние - 10 см.
Найдем высоту: h = a√3 / 2 = 6/2 * √3² = 3*3 = 9
Тогда 2/3 h = 6.
А значит, расстояние от точки до плоскости тр.:
KN² = 10² - 6² = 64 = 8²
KN = 8.

Ответ:расстояние от точки до плоскости треугольника равно 8 см

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте представим себе равносторонний треугольник со стороной \(a = 6\sqrt{3}\) см и точку, находящуюся на расстоянии 10 см от каждой из его вершин. Эта точка будет центром окружности, вписанной в данный треугольник.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности:

Радиус \(r\) вписанной окружности в равностороннем треугольнике можно найти с использованием формулы:

\[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

В данном случае:

\[ r = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 3 \]

2. Нахождение высоты треугольника:

Так как точка находится на расстоянии 10 см от вершин треугольника, она также является вершиной равнобедренного треугольника, образованного центром окружности и двумя вершинами треугольника. Расстояние от центра окружности до основания равнобедренного треугольника будет высотой равнобедренного треугольника.

3. Расстояние от точки до плоскости треугольника:

Расстояние \(h\) от точки до плоскости треугольника можно найти, используя теорему Пифагора для высоты треугольника и радиуса вписанной окружности:

\[ h = \sqrt{10^2 - r^2} \]

Подставляем значения:

\[ h = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91} \]

Таким образом, расстояние от точки до плоскости треугольника равно \( \sqrt{91} \) см.