Question

В треугольник АВС со сторонами АВ=18 и ВС=12 вписан параллелограмм BKLM, причем точки К,L и M лежат на сторонах АВ, АС и ВС соответственно. Известно,что площадь параллелограмма составляет 4/9 площади треугольника АВС. Найдите стороны параллелограмма.

Answer 1

Треугольник CLM подобен АВС. Если стороны праллелограмма ML = x; LK = y; то 

CM =12 - y;

(12 - y)/x = 12/18; 

x = 18 - 3*y/2;

Площадь параллелограмма равна 4/9 от площади АВС.

x*y*sinB = (4/9)*(1/2)*18*12*sinB; (В - это угол АВС);

x*y = 48;

(18 - 3*y/2)*y = 48; 

y^2 - 12*y + 32 = 0; есть два решения 4 и 8.

При y = 4 x = 12

При y = 8 x = 6

это ответ.

 

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник \(ABC\) с заданными сторонами: \(AB = 18\) и \(BC = 12\). Также, в треугольнике вписан параллелограмм \(BKLM\), где точки \(K\), \(L\) и \(M\) лежат на сторонах \(AB\), \(AC\) и \(BC\) соответственно.

Обозначим через \(x\) длину отрезка \(AK\) (часть стороны \(AB\)) и через \(y\) длину отрезка \(AL\) (часть стороны \(AC\)). Тогда длина отрезка \(BM\) (часть стороны \(BC\)) будет равна \(12 - y\).

Известно, что площадь параллелограмма \(BKLM\) составляет \(\frac{4}{9}\) площади треугольника \(ABC\).

Площадь треугольника можно выразить через его стороны с использованием формулы Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{AB + AC + BC}{2}\).

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) равна:

\[S_{ABC} = \sqrt{\frac{48}{2} \cdot \frac{30}{2} \cdot \frac{36}{2} \cdot \frac{24}{2}} = \sqrt{48 \cdot 15 \cdot 18 \cdot 12} = \sqrt{(4 \cdot 3^2) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2^2 \cdot 3)} = 216\]

Теперь, площадь параллелограмма \(BKLM\) равна \(\frac{4}{9}\) от площади треугольника \(ABC\):

\[S_{BKLM} = \frac{4}{9} \cdot 216 = 96\]

Площадь параллелограмма также можно выразить через длины его сторон:

\[S_{BKLM} = BM \cdot h_B\]

где \(h_B\) - высота параллелограмма, проведенная из вершины \(B\) к противоположной стороне \(LM\).

Так как \(BM = 12 - y\), у нас есть:

\[96 = (12 - y) \cdot h_B\]

Теперь мы должны выразить высоту \(h_B\) через длины сторон треугольника \(ABC\). Воспользуемся формулой для высоты треугольника:

\[h_B = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 216}{12} = 36\]

Теперь мы можем решить уравнение:

\[96 = (12 - y) \cdot 36\]

Решая это уравнение, мы находим \(y = 9\). Таким образом, длина отрезка \(AL\) равна 9, и длина отрезка \(BM\) равна \(12 - y = 3\).

Таким образом, стороны параллелограмма \(BKLM\) равны \(BK = LM = 18 - x\), \(KL = AL = 9\), \(BM = 3\), и \(BK = 12 - x\).

Итак, стороны параллелограмма \(BKLM\) равны:

\[BK = LM = 18 - x\] \[KL = AL = 9\] \[BM = 3\] \[MK = 12 - x\]