Question

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4см. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Если объем пирамиды равен 16, то чему будет равна площадь боковой поверхности этой пирамиды?помогите пожалуйста)

Answer 1

1) Находим площадь основания:

 $S_{o.}=AB^2=4^2=16\ (cm^2)$

 

2) Из формулы объёма находим ребро SB, которая является также и высотой пирамиды:

$SB=\frac{3V}{S_{o.}}=\frac{3\cdot16}{16}=3\ (cm)$ 

 

3) Находим ребра SA и SC с помощью теоремы Пифагора:

$SA=SC=\sqrt{SB^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ (cm)$ 

 

4) Находим апофемы SAD и SCD также с помощью теоремы Пифагора:

$SH=SH_1=\sqrt{SA^2-(\frac{AD}{2})^2}=\sqrt{5^2-(\frac{4}{2})^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\ (cm)$

 

5) Так так площадь боковой поверхности - сумма площадей боковых граней, то находим их:

$S_{SAB}=S_{SBC}=\frac{SB\cdot AB}{2}=\frac{3\cdot4}{2}=\frac{12}{2}=6\ (cm^2)$

$S_{SAD}=S_{SCD}=\frac{SH\cdot AD}{2}=\frac{\sqrt{21}\cdot 4}{2}=2\sqrt{21}\ (cm^2)$ 

 

6) Суммируем:

$S_b=2\cdot S_{SAB}+2\cdot S_{SAD}=2\cdot6+2\cdot2\sqrt{21}=12+4\sqrt{21}\ (cm^2)$ 

 

---

Ответ: 12+4√21 см².

Answer 2

Давайте рассмотрим данную пирамиду подробнее. Пусть \(ABCD\) - это основание пирамиды, где \(AB = BC = CD = DA = 4 \, \text{см}\). Пусть также точка \(S\) - вершина пирамиды, причем ребро \(SB\) перпендикулярно плоскости основания.

Поскольку \(ABCD\) - квадрат, высота пирамиды \(SH\) является перпендикулярным проведенным из вершины \(S\) на плоскость \(ABCD\). Таким образом, треугольник \(SAB\) - прямоугольный треугольник, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \(SH\).

Теорема Пифагора: \[SH^2 + AB^2 = SA^2\]

Из условия задачи известно, что объем пирамиды равен 16. Формула объема пирамиды: \[V = \frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота}\]

Подставим известные значения: \[16 = \frac{1}{3} \cdot (4 \cdot 4) \cdot SH\] \[16 = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot SH\] \[SH = 3\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны \(SA\): \[SH^2 + AB^2 = SA^2\] \[3^2 + 4^2 = SA^2\] \[9 + 16 = SA^2\] \[25 = SA^2\] \[SA = 5\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, мы можем воспользоваться формулой: \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Периметр основания} \cdot \text{Высота боковой грани}\]

Периметр квадрата \(ABCD\): \[P_{\text{осн}} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 4 = 16\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot SA\] \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5\] \[S_{\text{бок}} = 40 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности этой пирамиды равна \(40 \, \text{см}^2\).