Question

В равностороннем треугольнике высота равна h, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R. Докажите, что h = r+R, причем R = 2/3h, r = 1/3h

Answer 1

S= (a в квадрате умножить на корень из 3) : 4 
r=2R 
a= R умножить на корень из 3 
r - радиус вписанной окружности 
R - радиус описанной окружности 
a - сторона треугольника

Answer 2

Для начала, рассмотрим вписанную окружность треугольника. Пусть ее центр - точка I, а радиус - r. Так как треугольник равносторонний, то перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на сторону, будет являться высотой и делить сторону на две равные части. Пусть это точка M, а длина стороны треугольника - a. Тогда отрезок MI будет равен a/2.

Вспомним свойство вписанной окружности: расстояние от центра окружности до точки касания окружности с стороной треугольника равно радиусу окружности. Таким образом, отрезок MI будет равен r.

Теперь рассмотрим описанную окружность треугольника. Пусть ее центр - точка O, а радиус - R. Так как треугольник равносторонний, то центр описанной окружности будет совпадать с центром равностороннего треугольника, а его радиус будет равен расстоянию от центра треугольника до любой вершины. Таким образом, отрезок OI будет равен R - r.

Так как OI является диаметром описанной окружности, то отрезок OM будет равен R - r/2.

В треугольнике OMI, по теореме Пифагора, справедлива следующая формула:

OM^2 + MI^2 = OI^2

(R - r/2)^2 + r^2 = (R - r)^2

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

R^2 - 2Rr + r^2/4 + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2

Отсюда следует, что r^2/4 = 0, то есть r = 0. Но это невозможно, так как радиус вписанной окружности всегда положителен. Значит, предположение о том, что r = 0, неверно.

Таким образом, мы получаем, что R - r ≠ 0, что позволяет сократить это выражение в уравнении OI^2:

(R - r)(R + r) = R^2 - r^2

Так как R - r ≠ 0, то можно сократить это выражение:

R + r = R - r

2r = 0

Опять же, это невозможно, так как r > 0. Значит, предположение о том, что R - r ≠ 0, тоже неверно.

Таким образом, мы приходим к выводу, что исходное уравнение OI^2 = R^2 - r^2 неверно.

Следовательно, утверждение h = rR неверно.

Таким образом, равенства R = 2/3h и r = 1/3h также являются неверными.