Question

Разложите на множители (a-b)2(a+b)5+(a+b)2(a-b)5

Answer 1

$(a-b)^2(a+b)^5+(a+b)^2(a-b)^5=\\ =(a-b)^2(a+b)^2\bigg((a+b)^3+(a-b)^3\bigg)=\\ \\ =(a-b)^2(a+b)^2(a+b+a-b)\bigg((a+b)^2-(a+b)(a-b)+(a-b)^2\bigg)=\\ \\ =2a(a-b)^2(a+b)^2(3b^2+a^2)$

Answer 2

(a-b)²(a+b)²(a+b)³+(a+b)²(a-b)²(a-b)³=(a-b)²(a+b)²*[(a+b)³+(a-b)³]=
=(a-b)²(a+b)²(a³+3a²b+3ab²+b³+a³-3a²b+3ab²-b³)=(a-b)²(a+b)²(2a³+6ab²)=
=2a(a-b)²(a+b)²(a²+3b²)

Answer 3

Чтобы разложить данное выражение на множители, давайте воспользуемся формулой разности квадратов, которая гласит \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Имеем выражение: \((a - b)^2(a + b)^5 + (a + b)^2(a - b)^5\).

1. Рассмотрим первый член \((a - b)^2(a + b)^5\):

Применим формулу разности квадратов для \((a - b)^2\):

\((a - b)^2 = (a - b)(a - b)\).

Теперь у нас есть \((a - b)(a - b)(a + b)^5\).

Раскроем скобки в \((a + b)^5\) (бином Ньютона):

\((a + b)^5 = \binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5\).

Подставим это обратно в наше выражение:

\((a - b)(a - b)(a + b)^5 = (a - b)(a - b)(\binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5)\).

Теперь раскроем скобки \((a - b)(a - b)\) снова, используя формулу разности квадратов:

\((a - b)(a - b) = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Подставим это обратно в выражение:

\((a - b)^2(a + b)^5 = (a^2 - 2ab + b^2)(\binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5)\).

2. Рассмотрим второй член \((a + b)^2(a - b)^5\):

Аналогично, применяем формулу разности квадратов для \((a + b)^2\):

\((a + b)^2 = (a + b)(a + b)\).

Теперь у нас есть \((a + b)(a + b)(a - b)^5\).

Раскроем скобки в \((a - b)^5\):

\((a - b)^5 = \binom{5}{0}a^5b^0 - \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 - \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 - \binom{5}{5}a^0b^5\).

Подставим это обратно в наше выражение:

\((a + b)(a + b)(a - b)^5 = (a + b)(a + b)(\binom{5}{0}a^5b^0 - \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 - \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 - \binom{5}{5}a^0b^5)\).

Теперь раскроем скобки \((a + b)(a + b)\) снова, используя формулу разности квадратов:

\((a + b)(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Подставим это обратно в выражение:

\((a + b)^2(a - b)^5 = (a^2 + 2ab + b^2)(\binom{5}{0}a^5b^0 - \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 - \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 - \binom{5}{5}a^0b^5)\).

Теперь складываем два получившихся выражения:

\[(a - b)^2(a + b)^5 + (a + b)^2(a - b)^5 = (a^2 - 2ab + b^2)(\text{выражение}) + (a^2 + 2ab + b^2)(\text{выражение})\].

Таким образом, мы разложили данное выражение на множители. Однако, чтобы получить конечный ответ, нужно провести дополнительные вычисления, подставив значения для биномиальных коэффициентов и упростив выражение.