Question

Высота треугольника 15,12,20. Найти стороны треугольника

Answer 1

S=а·h₁/2⇒ a=2S/h₁=2S/12=S/6
S=b·h₂/2 ⇒ b=2S/h₂=2S/15
S=c·h₃/2 ⇒  c=2S/h₃=2S/20

Найдем полупериметр р=(2S/12+2S/15+2S/20)/2=S(1/12+1/15+1/20)=12S/60
Применяем формулу Герона:
$S= \sqrt{ \frac{12S}{60}( \frac{12S}{60}- \frac{2S}{12} )( \frac{12S}{60} - \frac{2S}{15})( \frac{12S}{60} - \frac{2S}{20} ) }=$

$= \sqrt{ \frac{12S}{60}\cdot \frac{2S}{60}\cdot \frac{4S}{60} \cdot \frac{6S}{60} } = \frac{24S ^{2} }{3600}$

3600·S=24·S²  ⇒ S=3600/24=150

a=2S/h₁=300/12=25
b=2S/h₂=300/15=20
c=2S/h₃=300/20=15
Ответ. Стороны треугольника 15; 20; 25
 

Answer 2

Для нахождения сторон треугольника по его высотам можно использовать формулы, связывающие высоты и площадь треугольника. Давайте обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\), а высоты, опущенные из вершин на соответствующие стороны, через \(h_a\), \(h_b\) и \(h_c\). Тогда площадь треугольника можно выразить следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\]

Исходя из этой формулы, можно выразить каждую из сторон через высоты:

\[a = \frac{2 \cdot S}{h_a}, \quad b = \frac{2 \cdot S}{h_b}, \quad c = \frac{2 \cdot S}{h_c}\]

В вашем случае известна высота треугольника по стороне \(a\), \(h_a = 15\), высота по стороне \(b\), \(h_b = 12\), и высота по стороне \(c\), \(h_c = 20\). Предположим, что \(S\) - площадь треугольника.

Тогда стороны треугольника могут быть найдены по следующим формулам:

\[a = \frac{2 \cdot S}{h_a}, \quad b = \frac{2 \cdot S}{h_b}, \quad c = \frac{2 \cdot S}{h_c}\]

Мы знаем, что площадь треугольника можно найти, используя формулу герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный \(\frac{a+b+c}{2}\).

Теперь мы можем подставить это значение \(S\) в формулы для сторон \(a\), \(b\), \(c\):

\[a = \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}{h_a}\] \[b = \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}{h_b}\] \[c = \frac{2 \cdot \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}{h_c}\]

Эти формулы позволяют найти стороны треугольника, зная высоты по этим сторонам. Однако, чтобы решить конкретное уравнение, нужны дополнительные данные, например, другие стороны треугольника или углы. Если у вас есть такие данные, дайте мне знать, и я могу помочь вам более конкретно.