Question

К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольниов равны 8,30,28.Найдите периметр данного треугольника.

Answer 1

Ответом будет сумма всех периметров. 66
Отрезок каждой касательной будет паралелелен соответствующей стороне.

Answer 2

Пусть \( P \), \( Q \) и \( R \) - это точки касания окружности с треугольником \( ABC \). Тогда \( AP = AQ \), \( BP = BR \) и \( CR = CQ \), так как они являются радиусами вписанной окружности. Пусть \( a \), \( b \) и \( c \) - стороны треугольника \( ABC \), \( p \) - его полупериметр.

Теперь, у нас есть три отсеченных треугольника \( ABP \), \( BCR \) и \( CAQ \).

1. Периметр треугольника \( ABP \):

\[ ABP = AP + BP + AB = AQ + BR + AB \]

2. Периметр треугольника \( BCR \):

\[ BCR = BR + CR + BC = BP + CQ + BC \]

3. Периметр треугольника \( CAQ \):

\[ CAQ = CQ + AQ + CA = CR + AP + CA \]

Мы знаем, что периметры этих трех треугольников равны 8, 30 и 28 соответственно:

\[ ABP + BCR + CAQ = 8 + 30 + 28 \]

Подставим значения периметров треугольников:

\[ (AQ + BR + AB) + (BP + CQ + BC) + (CR + AP + CA) = 8 + 30 + 28 \]

Сгруппируем одинаковые члены:

\[ (AQ + BR + CR) + (BP + CQ + AP) + (AB + BC + CA) = 8 + 30 + 28 \]

Так как \( AQ = AP \), \( BR = BP \) и \( CR = CQ \), получим:

\[ 2(AQ + BR + CR) + (AB + BC + CA) = 8 + 30 + 28 \]

Также известно, что \( AB + BC + CA = 2p \). Подставим это:

\[ 2(AQ + BR + CR) + 2p = 8 + 30 + 28 \]

Упростим выражение:

\[ 2(AQ + BR + CR) = 66 - 2p \]

Теперь мы знаем, что \( AQ + BR + CR = p \) (по формуле полупериметра), подставим это:

\[ 2p = 66 - 2p \]

Решим уравнение относительно \( p \):

\[ 4p = 66 \]

\[ p = 16.5 \]

Теперь, у нас есть полупериметр \( p \), и мы можем найти периметр треугольника:

\[ P_{ABC} = 2p = 33 \]

Таким образом, периметр треугольника \( ABC \) равен 33.