Question

Угол С прямоугольного треугольника АВС равен 30°. Разность длин гипотенузы и катета АВ равна 10 см. Найдите гипотенузу.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике сторона лежащая против угла в 30 градусах равна половине гипотезу

Answer 2

Пусть гипотенуза треугольника АВС равна х см, а катет АВ равен у см.

Так как угол С равен 30°, то угол А равен 90° - 30° = 60°.

Из треугольника АВС можно составить прямоугольный треугольник АВD, где D - середина гипотенузы АС.

Так как AD является медианой треугольника АВС, то она делит гипотенузу на две равные части, то есть AD = DC = х/2.

Также из условия задачи известно, что разность длин гипотенузы и катета АВ равна 10 см, то есть х - у = 10.

Применим теорему Пифагора к треугольнику АВD:

у^2 + (х/2)^2 = х^2.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

у^2 + x^2/4 = х^2.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

у^2 + x^2/4 - х^2 = 0.

Умножим все члены уравнения на 4:

4у^2 + x^2 - 4х^2 = 0.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

4у^2 - 3х^2 = 0.

Так как разность длин гипотенузы и катета АВ равна 10 см, то х - у = 10.

Запишем это в виде уравнения:

х - у = 10.

Решим систему уравнений методом подстановки или методом исключения:

Система уравнений: 4у^2 - 3х^2 = 0, х - у = 10.

Исключим переменную х из второго уравнения:

х = у + 10.

Подставим это значение в первое уравнение:

4у^2 - 3(у + 10)^2 = 0.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

4у^2 - 3(у^2 + 20у + 100) = 0, 4у^2 - 3у^2 - 60у - 300 = 0, у^2 - 60у - 300 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

у^2 - 60у - 300 = 0, (у - 30)(у + 10) = 0.

Получаем два возможных значения у: у = 30 и у = -10.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то у = 30.

Подставим это значение в уравнение х - у = 10:

х - 30 = 10, х = 40.

Таким образом, гипотенуза треугольника АВС равна 40 см.