Question

Помогите, пожалуйста, решить № 1. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка D так, что ВD: DС = 3:2, точка К – середина отрезка АВ, точка F–середина отрезка АD, КF =6 см, ∟АDС=1000. Найдите ВС и ∟АFК. № 2. В прямоугольном треугольнике АВС ∟С= 900, АС = 4 см, СВ = 4√3 см, СМ –медиана. Найдите угол ВСМ. № 3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен α . Найдите периметр и площадь трапеции. № 4.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА =13 см, ОВ = 10 см. № 5. В трапеции АВС (ВС ║АD) АВ ┴ ВD, ВD =2√5 , AD =2√10, СЕ – высота треугольника ВСD, а tg∟ECD= 3. Найдите ВЕ.

Answer 1

1.В ∆ АВD точки К и F – середины боковых сторон. ⇒КF - средняя линия∆ АВD и равна половине основания. ⇒ 
ВD=6•2=12 см
По условию BD:DC=3:2,  значит,  длина одной части равна  этого отношения 12:3= 4 см.
DC=4•2=8см ⇒
 ВС=12+8=20 (см)
∠BDC– развернутый и равен 180°
∠АDC= ∠BDC-∠ADC=180°-100°=80°
Средняя линия треугольника параллельна  его основанию. AD - секущая при параллельных KF и АD.⇒ 
∠АFK=∠ADB=80°как соответственные. 
2. АВ=8, если АВ больше АС в 2 раза, то угол СВА=30
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. СМ - медиана,
значит ВМ=Ма=4
То СМА получается равнобедренный, значит МСА=АМС=180-60/2=60
угол ВСМ = 90-МСА = 30 3. находим полусумму оснований (8+12)/2=10
находим боковую сторону  (12-8)/2cosa=2/cosP=4/cosa+20
находим высоту h=2tga
S=20tga
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА =13 см, ОВ = 10 см.
5. из теоремы Пифагора находим АВ=корень из(АD^2-BD^2) Дальше площадь треугольника АВD=АВхВD/2(он прямоугольный).Следующий этап находим высоту этого же треуг-ка,опущенную на АD-она равна DЕ. Делим площадь этого треугольника на половину основания (АD) Теперь в прямоуголном треугольнике нам известны гипотенуза ВД и катетDЕ Опять применим теорему Пифагора ВЕ=корень из(ВD^2-DE^2)

Answer 2

Конечно, давайте решим эти задачи по порядку.

№1. Для начала, давайте нарисуем треугольник ABC с точками D, K и F, а также отметим, что KF = 6 см и ∠ADC = 100°.

Так как BD : DC = 3 : 2, и точка K является серединой отрезка AB, то можно предположить, что DK = KB и BD = 3x, а DC = 2x.

Также, так как F является серединой отрезка AD, AF = FD.

Сначала найдем BC, используя теорему синусов в треугольнике BDC: \[\frac{BD}{\sin(\angle BDC)} = \frac{DC}{\sin(\angle BCD)}\] Мы знаем, что \(\angle BCD = 180° - \angle BDC - \angle ADC = 180° - \angle BDC - 100° = 80°\).

Теперь решим уравнение: \[\frac{3x}{\sin(100°)} = \frac{2x}{\sin(80°)}\]

Это уравнение позволяет нам найти значение x. После нахождения x можно найти DC (2x) и BC (3x) и перейти к следующей части задачи.

Чтобы найти ∠AFK, можно воспользоваться тем фактом, что AF = FD, а также дополнительным углом ADC, который равен 100°. Таким образом, ∠AFK = ∠FAD = 50°.

№2. Пусть M - середина гипотенузы AB в треугольнике ABC.

Известно, что CM - медиана, а также ∠C = 90°, AC = 4 см и BC = 4√3 см.

Так как CM - медиана, то AM = MB. Также, известно, что треугольник ABC является прямоугольным.

Используя свойство медианы в прямоугольном треугольнике (медиана равна половине гипотенузы), мы можем сказать, что CM = BM = 2√3 см.

Теперь, чтобы найти угол ∠CSM, можно воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике CSM: \[\cos(\angle CSM) = \frac{CM^2 + CS^2 - MS^2}{2 \cdot CM \cdot CS}\]

После того, как найдем значение угла ∠CSM, мы сможем ответить на вопрос.

№3. Для нахождения периметра и площади равнобедренной трапеции с основаниями 8 см и 12 см и углом α, нам нужно воспользоваться формулами для периметра и площади трапеции.

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон, то есть \(P = AB + BC + CD + DA = 8 + 12 + 8\cos(\alpha) + 12\cos(\alpha)\).

Площадь трапеции можно найти по формуле \(S = \frac{h \cdot (a + b)}{2}\), где h - высота трапеции, a и b - длины оснований. В данном случае, \(h = AB\sin(\alpha)\).

№4. В равнобедренном треугольнике с основанием AC медианы пересекаются в точке O, где OA = 13 см и OV = 10 см. Для нахождения площади треугольника, можно воспользоваться формулой площади треугольника через медианы: \(S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)}\), где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

№5. Чтобы найти значение BE в трапеции ABCD, где BC || AD, AB ⊥ BD, BD = 2√5 и AD = 2√10, а tg∠ECD = 3, нужно воспользоваться геометрическими свойствами трапеции и теоремой тангенсов. Например, у нас есть два подобных треугольника внутри этой трапеции, что позволяет использовать их соотношения сторон для нахождения нужной величины.