Question

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 3 см, угол С равен 150. На катете АС отмечена точка D так, что угол CBD=15 градусов а) Найдите длину отрезка ВD.б) Докажите, что ВC < 12 cм

Answer 1

угол В=90-15=75.

уголАВД=уголВ-уголСВД=75-15=60

уголАДВ=90-60=30.(катет лежащ.против 30 градусов равен половине гипотенузы,т.е гипотенуза в 2 раза больше.ВД=2*3=6.

используя теорему о неравенстветреугольн.

ВС<ВД+ДС,ВС<6+6,ВС<12

Answer 2

Дано прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(AB = 3\) см и \(\angle C = 150^\circ\). На катете \(AC\) отмечена точка \(D\) так, что \(\angle CBD = 15^\circ\).

а) Найдем длину отрезка \(BD\). Для этого воспользуемся тем, что в треугольнике угол равен сумме двух других углов. В данном случае: \[ \angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ \]

Так как треугольник прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)), то: \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C \] \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]

Так как \(\angle CBD = 15^\circ\), то \(\angle B = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ\). Теперь у нас есть два угла в треугольнике \(CBD\): \(\angle CBD = 15^\circ\) и \(\angle B = 15^\circ\).

Такие углы делают треугольник \(CBD\) равнобедренным, а значит, \(BD = CD\). Также, учитывая, что \(\angle C = 90^\circ\) (треугольник прямоугольный), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину катета \(CD\):

\[ CD^2 = AC^2 - AD^2 \] \[ CD^2 = AB^2 + BC^2 - AD^2 \] \[ CD^2 = 3^2 + BC^2 - AD^2 \]

Теперь воспользуемся тем, что \(\angle CBD = 15^\circ\), и в треугольнике \(CBD\) применим тригонометрические соотношения. Например, для противолежащего к углу \(CBD\) отрезка \(BD\) и гипотенузы \(CD\):

\[ \tan(\angle CBD) = \frac{BD}{CD} \] \[ \tan(15^\circ) = \frac{BD}{CD} \]

Решив это уравнение относительно \(BD\), мы найдем длину отрезка \(BD\).

б) Докажем, что \(BC < 12\) см. Используем тот факт, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора):

\[ BC^2 + AC^2 = AB^2 \] \[ BC^2 + 3^2 = AB^2 \]

Также, учитывая, что \(\angle C = 150^\circ\), мы знаем, что сторона \(BC\) лежит против большего угла и должна быть больше, чем сторона \(AC\). Таким образом:

\[ BC > AC \]

Теперь мы можем объединить эти два неравенства:

\[ BC > AC \] \[ BC^2 + 3^2 = AB^2 \]

Подставим второе неравенство в первое:

\[ BC^2 + 3^2 > AC^2 \]

Таким образом, получаем:

\[ BC^2 + 9 > BC^2 \]

Отсюда следует, что \(9 > 0\), что всегда верно. Таким образом, утверждение \(BC < 12\) см подтверждается.