Question

Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которая с ней скрещивающимися.

Answer 1

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1).
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с помощью треугольника АОС1.
$AC=a \sqrt{2};AO= \frac{1}{2}AC= \frac{1}{2}a \sqrt{2};AC1=a \sqrt{3};$
$OC _{1}= \sqrt{OC ^{2} +CC _{1} ^{2} }= \sqrt{ \frac{1}{2}a ^{2}+ a^{2} }=a \sqrt{ \frac{3}{2} } ;$
Пусть $AH=x; HC _{1}=AC _{1}-x;$
Выразим ОН из двух треугольников.
$OH ^{2}=AO ^{2}-AH^{2}=OC _{1}^{2}-HC_{1} ^{2};$
$\frac{1}{2}a ^{2}- x^{2} = \frac{3}{2}a^{2}-(a \sqrt{3}-x )^{2};$
$a^{2}+ x^{2}-3 a^{2}+2ax \sqrt{3} - x^{2} =0;$
$2ax \sqrt{3}=2 a^{2};x= \frac{a}{ \sqrt{3} };$
$OH= \sqrt{ \frac{1}{2} a^{2} - \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{ a^{2} }{6} } = \frac{a}{ \sqrt{6} }$
Ответ $\frac{a}{ \sqrt{6} }$

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется некоторая геометрическая информация о кубе. Пусть ребро куба равно "a". Диагональ основания куба можно выразить с помощью теоремы Пифагора, используя сторону квадрата основания, которая равна "a" (так как все стороны куба равны), тогда диагональ основания будет равна √(a^2 + a^2) = √2a.

Теперь давайте рассмотрим диагональ куба, которая соединяет две противоположные вершины. Длина этой диагонали также может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, используя ребро куба "a". Таким образом, диагональ куба будет равна √(a^2 + a^2 + a^2) = √3a.

Теперь мы можем найти кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания, которые пересекаются. Давайте представим, что эти две диагонали пересекаются в точке "P". Мы хотим найти расстояние от "P" до ближайшей вершины куба.

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим треугольник "PAB", где "AB" - это сторона квадрата основания куба, а "PA" и "PB" - это отрезки, соединяющие точку "P" с вершинами куба.

Так как "PA" и "PB" являются радиусами сферы, вписанной в куб, они равны половине диагонали основания куба, то есть "PA" = "PB" = √2a/2 = √2a/2 * √2/√2 = a√2/2.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника "PAB", чтобы найти длину отрезка "AB", который является кратчайшим расстоянием между диагональю куба и диагональю основания.

Используя теорему Пифагора, получаем:

AB^2 = PA^2 + PB^2 AB^2 = (a√2/2)^2 + (a√2/2)^2 AB^2 = (a^2 * 2/4) + (a^2 * 2/4) AB^2 = 2a^2/2 + 2a^2/2 AB^2 = 2a^2

Таким образом, кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания, которые пересекаются, равно √(2a^2) = √2a.

Итак, кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания, которые пересекаются, равно √2a.