Question

AB и CD - перпендикулярны к прямой BD , точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD.Докадите ,что BCпаралельноAD ,если AB = CD

Answer 1

У. ABD =y. BDC =>AB||DC( из-за накрест лежащих углов). Т. К. AB = DC, то ABCD - параллелограмм(2 стороны равны и параллельны). => BC||AD, т.к. в параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны.

Answer 2

Пусть AB и CD - перпендикулярны к прямой BD. Также пусть точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD.

Для начала докажем, что AC не пересекает прямую BD. Предположим противное, то есть пусть AC пересекает прямую BD в точке E. Тогда по определению перпендикуляра, угол ABE равен 90 градусам. Также, так как AB и CD перпендикулярны к прямой BD, то угол CDE также равен 90 градусам.

Таким образом, угол ABE и угол CDE равны между собой. Но по условию AB = CD, значит треугольники ABE и CDE равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы AEB и CED также равны между собой.

Но по условию точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD, поэтому угол AEB и угол CED должны быть смежными и в сумме дают 180 градусов. Получается, что углы AEB и CED не могут быть равными, что противоречит предположению о том, что AC пересекает прямую BD.

Таким образом, AC не пересекает прямую BD, что означает, что точки A и C лежат по одну сторону от прямой BD.

Теперь докажем, что BC параллельно AD. Предположим противное, то есть пусть BC не параллельно AD. Тогда эти две прямые пересекаются в точке F.

Так как AB и CD перпендикулярны к прямой BD, то угол ABF и угол CDF равны 90 градусам. Также, так как BC и AD пересекаются в точке F, то угол ABF и угол CDF также равны между собой (по свойству вертикальных углов).

Но так как AB = CD, то треугольники ABF и CDF равны по гипотенузе и катету. Следовательно, углы BAF и DCF также равны между собой.

Но по условию точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD, поэтому угол BAF и угол DCF должны быть дополнительными и в сумме дают 180 градусов. Получается, что углы BAF и DCF не могут быть равными, что противоречит предположению о том, что BC и AD пересекаются.

Таким образом, BC параллельно AD.