Question

1) Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника? 2) Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету? 3) Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите теорему о внешнем угле треугольника?4) Обьясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой?5) Докажите что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол?(Желательно с рисунками) Спасибо!

Answer 1

1) сумма углов треугольника 180 гр.

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие,( при секущей BC и параллельными прямыми AC и BD). => сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. 

2)Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные угольники равны.

 построим два прямоугольных треугольника АВС и А'В'С', у которых углы С и С' — прямые, катеты АС и A'C' равны,  гипотенузы АВ и А'В' также равны.

Проведём прямую MN и отметим на ней точку С, из этой точки проведём перпендикуляр СК к прямой MN. Затем прямой угол треугольника ABC наложим на прямой угол КСМ так, чтобы вершины их совместились и катет АС пошёл по лучу СК, тогда катет ВС пойдёт по лучу СМ. Прямой угол треугольника А'В'С' наложим на прямой угол KCN так, чтобы вершины их совместились и катет А'С' пошёл по лучу СК, тогда катет С'В' пойдёт по лучу CN. Вершины А и А' совпадут вследствие равенства катетов АС и А'С'.

Треугольники АВС и А'В'С' составят вместе равнобедренный треугольник ВАВ', в котором АС окажется высотой и биссектрисой, а значит и осью симметрии треугольника ВАВ' Из этого следует, что /\ АВС = /\ А'В'С'.

3)угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике 
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. 
Отсюда следует 
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD 

4)
Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

5)

Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.

Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС.Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и больше угла A.

Answer 2

1) Теорема о сумме углов треугольника:

Утверждение: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Доказательство: Пусть у нас есть треугольник ABC. Мы можем разделить его на два треугольника, воспользовавшись наклонной BD, проведенной из вершины B к стороне AC. Обозначим углы треугольника ABC как A, B и C, а углы треугольника ABD и BCD как α и β соответственно.

Так как углы треугольника ABD и BCD являются внутренними углами треугольника ABC, то их сумма равна углу C треугольника ABC. То есть, α + β = C.

Также, углы α и β являются внутренними углами треугольников ABD и BCD соответственно. Сумма углов в каждом из этих треугольников равна 180 градусам. То есть, α + B + 90° = 180° и β + C + 90° = 180°.

Из этих двух уравнений можно выразить α и β следующим образом: α = 90° - B и β = 90° - C.

Подставим эти значения в уравнение α + β = C: (90° - B) + (90° - C) = C 180° - B - C = C 180° = B + C + C 180° = B + 2C

Таким образом, мы получили уравнение B + 2C = 180°, которое можно переписать как B + C = 180° - C.

Из уравнения α + β = C и B + C = 180° - C следует, что B + C = 180°.

Таким образом, мы доказали, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

2) Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету:

Утверждение: Если в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза и один из катетов одного треугольника равны гипотенузе и одному из катетов другого треугольника соответственно, то эти треугольники равны.

Доказательство: Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где гипотенуза треугольника ABC равна гипотенузе треугольника DEF и один из катетов треугольника ABC равен одному из катетов треугольника DEF.

Обозначим гипотенузу треугольника ABC как AB и гипотенузу треугольника DEF как DE. Также обозначим катеты треугольника ABC как AC и BC, а катеты треугольника DEF как DF и EF.

Из условия задачи следует, что AB = DE и AC = DF.

Так как треугольники ABC и DEF являются прямоугольными, то у них соответственно равны углы B и E.

Также, углы A и D являются прямыми углами, так