Question

В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1 пересекающиеся в точке О.Докажите,что треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные площади.

Answer 1

 Точки А1 и В1 - середины сторон ∆ АСВ. Соединим их. В1А1 – срденяя линия ∆ АСВ и по свойству средней линии В1А1║ АВ.⇒

Четырехугольник АВ1А1В - трапеция, В1В и А1А - ее диагонали.  

Треугольники, образованные отрезками иагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.( свойство трапеции). 

Доказательство.  

Рассмотрим ∆ АВ1А1 и ∆ ВВ1А1.  У этих треугольников общее основание и высоты, равные высоте трапеции. 

Формула площади треугольника S=a•h/2, где а - сторона треугольника, h- высота, проведенная к ней. 

Если основания и высоты треугольников равны, их площади равны. 

 ∆ АВ1А1= ∆ АВ1О+∆ В1ОА1

 ∆ ВВ1А1= ∆ ВОА1+∆ В1ОА1 

Два треугольника с равной площадью состоят из частей, одна из которых - одна и та же. Следовательно, площади вторых частей этих треугольников равны. 

S ∆ АОВ1=S∆ ВОА1, ч.т.д. 

---------

Вариант – более короткое решение. 

Каждая медиана треугольника делят его на два равновеликих ( равные высоты и основания). 

 S∆ ВCВ1=S ∆ АСА1=S ∆ АВС:2

Сумма  площадей ∆ АОВ1+четырехугольника В1СА1О равна сумме площадей ∆ ВОА1+четырехугольника В1СА1О, равна половине площади ∆ АВС,  из чего следует равенство площадей треугольников АВ1О и А1ВО 

Answer 2

Дано: В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1, пересекающиеся в точке О.

Требуется: Доказать, что треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные площади.

Доказательство:

Чтобы доказать, что треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные площади, мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Рассмотрим треугольник ABC и его медианы AA1 и BB1. Поскольку медианы делят стороны треугольника пополам, точка пересечения медиан О будет являться центром масс треугольника ABC.

2. Поскольку точка О является центром масс треугольника ABC, медианы AA1 и BB1 будут равными и будут делиться в отношении 2:1.

3. Рассмотрим треугольник AOB1. Так как медиана AA1 делит сторону AB пополам, то точка О будет также являться центром масс треугольника AOB1.

4. Аналогично, в треугольнике BOA1 точка О также является центром масс.

5. Поскольку точка О является центром масс для обоих треугольников AOB1 и BOA1, это означает, что отрезки OA и OB1, а также отрезки OB и OA1, будут равными.

6. Из равенства отрезков OA и OB1 следует, что у треугольников AOB1 и BOA1 равны основания AO и OB1.

7. Так как треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные основания и одинаковую высоту (высота равна отрезку AA1, который является медианой треугольника ABC), то их площади будут равными.

Таким образом, мы доказали, что треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные площади.