Question

В трапеции ABCD основания BC и ADравны 2 см и 8 см, а диагональ AC равна 4 см. В каком отношении делит диагональ AC площадь трапеции?

Answer 1

S  abd= 0,5*8*h.
S  cbd= 0,5*2*h.
S abd/ S cbd = 4

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством трапеции, согласно которому диагональ трапеции делит ее на два треугольника, площади которых относятся как катеты, проведенные из вершины диагонали.

Пусть точка пересечения диагонали AC с боковой стороной AD находится в точке E. Тогда мы можем разделить трапецию ABCD на два треугольника: треугольник AEC и треугольник BEC.

Рассмотрим треугольник AEC. Из условия задачи известны основания BC и AD, равные 2 см и 8 см соответственно, и диагональ AC, равная 4 см. Заметим, что треугольник AEC является прямоугольным, так как диагональ является высотой, опущенной из вершины прямого угла.

Применим теорему Пифагора к треугольнику AEC: AC² = AE² + EC²

Подставим известные значения: 4² = AE² + EC² 16 = AE² + EC²

Рассмотрим треугольник BEC. Из условия задачи известны основания BC и AD, равные 2 см и 8 см соответственно, и диагональ AC, равная 4 см. Заметим, что треугольник BEC является прямоугольным, так как диагональ является высотой, опущенной из вершины прямого угла.

Применим теорему Пифагора к треугольнику BEC: AC² = BE² + EC²

Подставим известные значения: 4² = BE² + EC² 16 = BE² + EC²

Таким образом, мы получили два уравнения: 16 = AE² + EC² 16 = BE² + EC²

Вычтем из первого уравнения второе: AE² - BE² = 0

Разложим разность квадратов: (AE + BE)(AE - BE) = 0

У нас есть два возможных случая:

1) AE + BE = 0 Такое равенство невозможно, так как AE и BE являются длинами сторон треугольника AEB, и они не могут быть отрицательными или равными нулю.

2) AE - BE = 0 В этом случае AE = BE.

Таким образом, мы получили, что длины сторон треугольников AEC и BEC равны. Следовательно, площади этих треугольников также равны.

Итак, диагональ AC делит площадь трапеции ABCD пополам.